Całkowita energia mechaniczna układu jest zachowana. Energia mechaniczna

Ta lekcja wideo jest przeznaczona do samodzielnego zapoznania się z tematem „Prawo zachowania energii mechanicznej”. Najpierw zdefiniujmy energię całkowitą i układ zamknięty. Następnie sformułowamy Prawo Zachowania Energii Mechanicznej i zastanowimy się, w jakich obszarach fizyki można je zastosować. Zdefiniujemy także pracę i nauczymy się ją definiować, patrząc na skojarzone z nią formuły.

Tematem lekcji jest jedno z podstawowych praw natury - prawo zachowania energii mechanicznej.

Mówiliśmy wcześniej o energii potencjalnej i kinetycznej, a także o tym, że ciało może mieć jednocześnie energię potencjalną i kinetyczną. Zanim zaczniemy mówić o prawie zachowania energii mechanicznej, przypomnijmy sobie, czym jest energia całkowita. Całkowita energia mechaniczna jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej ciała.

Pamiętaj także o tak zwanym systemie zamkniętym. System zamknięty- jest to układ, w którym istnieje ściśle określona liczba oddziałujących ze sobą ciał i żadne inne ciała z zewnątrz nie oddziałują na ten układ.

Kiedy zdefiniujemy pojęcie energii całkowitej i układu zamkniętego, możemy mówić o prawie zachowania energii mechanicznej. Więc, całkowita energia mechaniczna w zamkniętym układzie ciał oddziałujących ze sobą poprzez siły grawitacyjne lub siły sprężyste (siły zachowawcze) pozostaje niezmieniona podczas dowolnego ruchu tych ciał.

Przestudiowaliśmy już prawo zachowania pędu (LCM):

Często zdarza się, że postawione problemy można rozwiązać jedynie przy pomocy praw zachowania energii i pędu.

Zasadę zachowania energii wygodnie jest rozważyć na przykładzie swobodnego upadku ciała z określonej wysokości. Jeżeli dane ciało znajduje się w spoczynku na określonej wysokości względem ziemi, to ciało to ma energię potencjalną. Gdy tylko ciało zacznie się poruszać, wysokość ciała maleje, a energia potencjalna maleje. W tym samym czasie prędkość zaczyna rosnąć i pojawia się energia kinetyczna. Kiedy ciało zbliża się do ziemi, wysokość ciała wynosi 0, energia potencjalna również wynosi 0, a maksymalna będzie energią kinetyczną ciała. W tym miejscu widoczna jest przemiana energii potencjalnej w energię kinetyczną (rys. 1). To samo można powiedzieć o odwrotnym ruchu ciała, z dołu do góry, gdy ciało jest rzucone pionowo w górę.

Ryż. 1. Swobodny spadek ciała z określonej wysokości

Zadanie dodatkowe 1. „Po upadku ciała z określonej wysokości”

Problem 1

Stan

Ciało znajduje się na wysokości od powierzchni Ziemi i zaczyna swobodnie opadać. Wyznacz prędkość ciała w momencie kontaktu z podłożem.

Rozwiązanie 1:

Początkowa prędkość ciała. Muszę to znaleźć.

Rozważmy prawo zachowania energii.

Ryż. 2. Ruch ciała (zadanie 1)

W najwyższym punkcie ciało ma tylko energię potencjalną: . Kiedy ciało zbliży się do ziemi, wysokość ciała nad ziemią będzie równa 0, co oznacza, że ​​​​energia potencjalna ciała zniknęła, zamieniła się w energię kinetyczną:

Zgodnie z zasadą zachowania energii możemy napisać:

Masa ciała ulega zmniejszeniu. Przekształcając powyższe równanie otrzymujemy: .

Ostateczna odpowiedź będzie brzmiała: . Jeśli podstawimy całą wartość, otrzymamy: .

Odpowiedź: .

Przykład rozwiązania problemu:

Ryż. 3. Przykład rozwiązania problemu nr 1

Problem ten można rozwiązać w inny sposób, jako ruch pionowy z przyspieszeniem swobodnego spadania.

Rozwiązanie 2 :

Zapiszmy równanie ruchu ciała w rzucie na oś:

Kiedy ciało zbliży się do powierzchni Ziemi, jego współrzędna będzie równa 0:

Przyspieszenie grawitacyjne poprzedzone jest znakiem „-”, ponieważ jest skierowane w stronę wybranej osi.

Podstawiając znane wartości stwierdzamy, że ciało z czasem upadło. Zapiszmy teraz równanie na prędkość:

Zakładając, że przyspieszenie swobodnego spadania jest równe, otrzymujemy:

Znak minus oznacza, że ​​bryła porusza się w kierunku przeciwnym do wybranej osi.

Odpowiedź: .

Przykład rozwiązania problemu nr 1 drugą metodą.

Ryż. 4. Przykład rozwiązania problemu nr 1 (metoda 2)

Aby rozwiązać ten problem, można zastosować formułę niezależną od czasu:

Oczywiście należy zauważyć, że rozważaliśmy ten przykład biorąc pod uwagę brak sił tarcia, które w rzeczywistości działają w dowolnym układzie. Przejdźmy do wzorów i zobaczmy, jak zapisane jest prawo zachowania energii mechanicznej:

Zadanie dodatkowe 2

Ciało spada swobodnie z wysokości. Określ, na jakiej wysokości energia kinetyczna jest równa jednej trzeciej energii potencjalnej ().

Ryż. 5. Ilustracja do zadania nr 2

Rozwiązanie:

Ciało znajdujące się na wysokości ma energię potencjalną i tylko energię potencjalną. Energię tę określa się ze wzoru: . Będzie to całkowita energia ciała.

Kiedy ciało zaczyna poruszać się w dół, energia potencjalna maleje, ale jednocześnie wzrasta energia kinetyczna. Na wysokości, którą należy wyznaczyć, ciało będzie miało już pewną prędkość V. Dla punktu odpowiadającego wysokości h energia kinetyczna ma postać:

Energię potencjalną na tej wysokości będziemy oznaczać następująco: .

Zgodnie z prawem zachowania energii, nasza całkowita energia jest zachowana. Ta energia pozostaje wartością stałą. Dla punktu możemy napisać następującą zależność: (wg Z.S.E.).

Pamiętając, że energia kinetyczna zgodnie z warunkami zadania wynosi , możemy napisać, co następuje: .

Uwaga: masa i przyspieszenie grawitacyjne ulegają redukcji, po prostych przekształceniach okazuje się, że wysokość, na której spełniona jest ta zależność wynosi .

Odpowiedź:

Przykład zadania 2.

Ryż. 6. Formalizacja rozwiązania problemu nr 2

Wyobraź sobie, że ciało w określonym układzie odniesienia ma energię kinetyczną i potencjalną. Jeśli system jest zamknięty, to przy każdej zmianie następuje redystrybucja, czyli przemiana jednego rodzaju energii w inny, ale całkowita energia pozostaje ta sama pod względem wartości (ryc. 7).

Ryż. 7. Prawo zachowania energii

Wyobraźmy sobie sytuację, w której samochód porusza się po poziomej drodze. Kierowca wyłącza silnik i kontynuuje jazdę z wyłączonym silnikiem. Co dzieje się w tym przypadku (ryc. 8)?

Ryż. 8. Ruch samochodu

W tym przypadku samochód ma energię kinetyczną. Ale doskonale wiesz, że z biegiem czasu samochód się zatrzyma. Gdzie w tym przypadku poszła energia? Przecież energia potencjalna ciała w tym przypadku również się nie zmieniła; była to jakaś stała wartość w stosunku do Ziemi. Jak nastąpiła zmiana energii? W tym przypadku energia została wykorzystana do pokonania sił tarcia. Jeśli w układzie występuje tarcie, wpływa to również na energię tego układu. Zobaczmy, jak w tym przypadku zostanie zarejestrowana zmiana energii.

Energia się zmienia, a ta zmiana energii jest określona przez pracę przeciw sile tarcia. Pracę siły tarcia możemy wyznaczyć ze wzoru znanego z zajęć 7 (siła i przemieszczenie są skierowane w przeciwne strony):

Kiedy więc mówimy o energii i pracy, musimy zrozumieć, że za każdym razem musimy brać pod uwagę fakt, że część energii jest wydawana na pokonywanie sił tarcia. Trwają prace nad pokonaniem sił tarcia. Praca jest wielkością charakteryzującą zmianę energii ciała.

Na zakończenie lekcji chciałbym powiedzieć, że praca i energia są zasadniczo wielkościami powiązanymi poprzez działające siły.

Zadanie dodatkowe 3

Dwa ciała - bryła i kula z plasteliny - poruszają się ku sobie z tą samą prędkością (). Po zderzeniu kulka z plasteliny przykleja się do klocka, oba ciała nadal poruszają się razem. Określ, jaka część energii mechanicznej zamieniła się w energię wewnętrzną tych ciał, biorąc pod uwagę fakt, że masa bloku jest 3 razy większa niż masa kulki plasteliny ().

Rozwiązanie:

Zmianę energii wewnętrznej można oznaczyć przez . Jak wiadomo, istnieje kilka rodzajów energii. Oprócz energii mechanicznej istnieje również energia cieplna, wewnętrzna.

Jeśli ciała, które tworzą zamknięty układ mechaniczny, oddziałują ze sobą tylko poprzez siły grawitacji i sprężystości, wówczas praca tych sił jest równa różnicy energii potencjalnej:

Zgodnie z twierdzeniem o energii kinetycznej praca ta jest równa zmianie energii kinetycznej ciał:

Stąd:

Lub . (5.16)

Suma energii kinetycznej i potencjalnej ciał tworzących układ zamknięty i oddziałujących ze sobą poprzez siły grawitacyjne i sprężyste pozostaje niezmieniona.

Suma E = E k + E p jest całkowitą energią mechaniczną. Otrzymane prawo zachowania całkowitej energii mechanicznej :

Prawo zachowania energii mechanicznej jest spełnione tylko wtedy, gdy ciała w układzie zamkniętym oddziałują ze sobą siłami zachowawczymi, czyli siłami, dla których można wprowadzić pojęcie energii potencjalnej.

W rzeczywistych warunkach na poruszające się ciała prawie zawsze działają siły grawitacyjne, siły sprężystości i inne siły zachowawcze, siły tarcia lub siły oporu środowiska.

Siła tarcia nie jest zachowawcza. Praca wykonana przez siłę tarcia zależy od długości drogi.

Jeżeli pomiędzy ciałami tworzącymi układ zamknięty działają siły tarcia energia mechaniczna nie jest zachowana. Część energii mechanicznej zamienia się na energię wewnętrzną ciał (ogrzewanie).

Podczas jakichkolwiek interakcji fizycznych energia nie pojawia się ani nie znika. Po prostu zmienia się z jednej formy w drugą.

Ten eksperymentalnie ustalony fakt wyraża podstawowe prawo natury - prawo zachowania i przemiany energii.

Prawo zachowania energii mechanicznej i prawo zachowania pędu umożliwiają znalezienie rozwiązań problemów mechanicznych w przypadkach, gdy działające siły nie są znane. Przykładem tego typu problemu jest oddziaływanie uderzeniowe ciał.

Uderzenie (lub kolizja) nazywane jest zwykle krótkotrwałym oddziaływaniem ciał, w wyniku którego ich prędkości ulegają znaczącym zmianom. Podczas zderzenia ciał działają między nimi krótkotrwałe siły uderzenia, których wielkość z reguły nie jest znana. Dlatego interakcji uderzeń nie można rozważać bezpośrednio, korzystając z praw Newtona. Zastosowanie zasad zachowania energii i pędu w wielu przypadkach pozwala wykluczyć z rozważań sam proces zderzenia i uzyskać związek pomiędzy prędkościami ciał przed i po zderzeniu, z pominięciem wszystkich wartości pośrednich tych wielkości.

W mechanice często stosuje się dwa modele interakcji uderzeń - uderzenia absolutnie sprężyste i absolutnie niesprężyste.

Uderzenie absolutnie nieelastyczne to oddziaływanie uderzeń, podczas którego ciała łączą się (sklejają) ze sobą i poruszają się jako jedno ciało.

W zderzeniu całkowicie niesprężystym energia mechaniczna nie jest zachowywana. Częściowo lub całkowicie zamienia się w energię wewnętrzną ciał (ogrzewanie).

Uderzenie absolutnie sprężyste to zderzenie, w którym zachowana jest energia mechaniczna układu ciał.

Przy absolutnie sprężystym uderzeniu, wraz z zasadą zachowania pędu, spełnione jest prawo zachowania energii mechanicznej.

1.7. PRAWO ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ

Sformułowanie prawa zachowania energii mechanicznej. Sformułowanie w przypadku obecności sił rozpraszających. Graficzne przedstawienie energii. Skończone i nieskończone ruchy. Absolutnie elastyczne uderzenie. Absolutnie nieelastyczny wpływ.

Całkowita energia mechaniczna układu- energia ruchu mechanicznego i oddziaływania, tj. równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej. Prawo zachowania energii mechanicznej: w systemie ciał, pomiędzy którymi tylko siły konserwatywne całkowita energia mechaniczna jest zachowana, tj. nie zmienia się w czasie. Ten - podstawowy prawo natury. To konsekwencja jednorodność czasu - niezmienność praw fizycznych ze względu na wybór punktu odniesienia w czasie. Wszystkie siły w mechanice są zwykle podzielone na konserwatywny I niekonserwatywny. Siły zachowawcze to takie, których praca nie zależy od kształtu trajektorii (ścieżki) pomiędzy dwoma punktami, a jedynie od początkowego i końcowego położenia ciała względem drugiego. Innymi słowy, praca wykonana przez siły konserwatywne wzdłuż zamkniętej trajektorii wynosi zero. Przykładami sił zachowawczych są grawitacja, siła sprężystości itp. Należą do nich przede wszystkim siły rozpraszające(przekształcanie energii mechanicznej na inny rodzaj energii), na przykład siłę tarcia. Jeśli istnieje zmiana jest równa pracy sił rozpraszających. Skończony– przemieszczanie się punktów na ograniczonym obszarze przestrzeni. Nieskończony– ciało zmierza do nieskończoności. Absolutnie elastyczne uderzenie - zderzenie dwóch ciał, w wyniku którego w obu oddziałujących ciałach nie pozostają żadne odkształcenia, a cała energia kinetyczna, jaką ciała posiadały przed uderzeniem, po zderzeniu zostaje zamieniona z powrotem na energię kinetyczną. prawa konserwatorskie Impuls i zasada zachowania energii mechanicznej są przeprowadzane . Całkowicie nieelastyczny wpływ - zderzenie dwóch ciał, w wyniku którego ciała te łączą się, poruszając się dalej jako jedno ciało. Nie wykonano prawo zachowania energii mechanicznej: w wyniku odkształcenia część energii kinetycznej zamienia się w energię wewnętrzną ciał (ogrzewanie).

Wprowadźmy pojęcie całkowitej energii mechanicznej cząstki. Przyrost energii kinetycznej cząstki jest równy pracy elementarnej wynikającej z działania wszystkich sił działających na cząstkę. Jeśli cząstka znajduje się w polu potencjalnym, wówczas działa na nią siła zachowawcza z tego pola potencjalnego. Ponadto na cząstkę mogą oddziaływać inne siły o innym pochodzeniu. Zadzwońmy do nich siły zewnętrzne .

Zatem wypadkową wszystkich sił działających na cząstkę można przedstawić jako . Praca wszystkich tych sił zmierza w kierunku zwiększenia energii kinetycznej cząstki:

Zgodnie z (6.7) praca sił pola jest równa spadkowi energii potencjalnej cząstki, tj. Zastępując to wyrażenie poprzednim i przesuwając termin w lewo, otrzymujemy

Z tego widać, że działanie sił zewnętrznych zwiększa wartość. Wielkość ta – suma energii kinetycznej i potencjalnej – nazywa się całkowita energia mechaniczna cząstki w polu :

podczas końcowego ruchu z punktu 1 do punktu 2

te. przyrost całkowitej energii mechanicznej cząstki na określonej drodze jest równy sumie algebraicznej pracy wykonanej przez wszystkie siły zewnętrzne, działając na cząstkę poruszającą się po tej samej drodze. Jeśli , to całkowita energia mechaniczna cząstki wzrasta, a jeśli , to maleje.

Całkowita energia mechaniczna cząstki może się zmienić jedynie pod wpływem sił zewnętrznych. Oznacza to bezpośrednio prawo zachowania całkowitej energii mechanicznej cząstki w polu zewnętrznym: jeśli sił zewnętrznych nie ma lub są takie, że algebraiczna suma ich mocy w interesującym nas czasie jest równa zeru, wówczas całkowita energia mechaniczna cząstki pozostaje w tym czasie stała. Innymi słowy,

Nawet w tej najprostszej postaci to prawo zachowania pozwala dość łatwo uzyskać odpowiedzi na szereg ważnych pytań bez konieczności angażowania się w równania ruchu, co, jak wiemy, często wiąże się z uciążliwymi i żmudnymi obliczeniami. To właśnie ta okoliczność sprawia, że ​​przepisy dotyczące ochrony przyrody stają się bardzo skutecznym narzędziem badawczym.

Zilustrujmy możliwości i korzyści, jakie daje zastosowanie prawa konserwatorskiego (7.4) na następującym przykładzie.

Przykład. Niech cząstka porusza się w jednowymiarowym polu potencjałuU(x. Jeśli nie ma sił zewnętrznych, to całkowita energia mechaniczna cząstki w danym polu, tj. E, nie zmienia się podczas ruchu i możemy po prostu rozwiązać np. pytania takie jak:

1. Wyznacz, nie rozwiązując podstawowego równania dynamiki,w(x) - prędkość cząstki zależna od jej współrzędnej. Aby to zrobić, wystarczy wiedzieć, zgodnie z równaniem(7.4) , specyficzny typ krzywej potencjałuU(x) i wartość energii całkowitej E (prawa strona tego równania).

2. Ustal obszar zmiany współrzędnej x cząstki, w którym może się ona znajdować przy danej wartości energii całkowitej E. Wiadomo, że w obszarze, w którymU> E, cząstka nie może wejść, ponieważ energia potencjalnaUcząstka nie może przekroczyć swojej całkowitej energii. Od razu wynika z tego, że kiedy (Rys. 7.1) cząstka może poruszać się w tym obszarze

pomiędzy współrzędnymi (oscyluje) lub na prawo od współrzędnej . Cząstka nie może przemieszczać się z pierwszego obszaru do drugiego (i odwrotnie): zapobiega temu bariera potencjału oddzielająca oba te obszary. Należy zauważyć, że gdy cząstka porusza się w ograniczonym obszarze pola, mówimy, że znajduje się w studni potencjału, w naszym przypadku - pomiędzy .

Cząstka zachowuje się inaczej, gdy (ryc. 7.1): cały obszar po prawej stronie jest dla niej dostępny . Jeśli w początkowej chwili cząstka była w punkcie , to w przyszłości przesunie się w prawo. Wyznaczenie zmiany energii kinetycznej cząstki w zależności od jej położenia x może służyć jako przydatne niezależne ćwiczenie.

Jak dotąd ograniczyliśmy się do rozważenia zachowania jeden cząstek z energetycznego punktu widzenia. Przejdźmy teraz do układ cząstek. Może to być dowolne ciało, gaz, dowolny mechanizm, układ słoneczny itp.

W ogólnym przypadku cząstki układu mogą oddziaływać zarówno między sobą, jak i z ciałami nie wchodzącymi w skład danego układu. Układ cząstek, na który nie działają żadne ciała obce lub ich wpływ jest znikomy, nazywa się Zamknięte lub izolowane. Koncepcja układu zamkniętego jest naturalnym uogólnieniem koncepcji izolowanego punktu materialnego i odgrywa ważną rolę w fizyce.

Wprowadźmy pojęcie energii potencjalnej układu cząstek. Rozważmy układ zamknięty, pomiędzy cząstkami, w których działają jedynie siły centralne, czyli siły, które dla danego charakteru oddziaływania zależą jedynie od odległości między nimi i są skierowane wzdłuż łączącej je linii prostej.

Pokażmy, że w dowolnym układzie odniesienia pracę wszystkich tych sił podczas przejścia układu cząstek z jednego położenia do drugiego można przedstawić jako zmniejszenie jakiejś funkcji, która dla danego charakteru interakcji zależy tylko od konfiguracji samego układu lub od względnego położenia jego cząstek. Nazwijmy tę funkcję własny energia potencjalna układu, w przeciwieństwie do zewnętrzny energia potencjalna charakteryzująca oddziaływanie danego układu z innymi ciałami.

Rozważmy najpierw układ dwóch cząstek. Obliczmy elementarną pracę sił, z którymi te cząstki oddziałują na siebie. Niech w dowolnym układzie odniesienia w pewnym momencie położenie cząstek jest określone przez wektory promienia i . Jeżeli w czasie dt cząstki się poruszały i odpowiednio, wówczas praca sił interakcji i jest równa

Weźmy teraz pod uwagę, że zgodnie z trzecim prawem Newtona poprzednie wyrażenie można przepisać w następujący sposób:

Wprowadźmy wektor charakteryzujący położenie pierwszej cząstki względem drugiej. Następnie i po podstawieniu do wyrażenia na pracę otrzymujemy

.

Siła jest centralna, zatem praca tej siły jest równa spadkowi energii potencjalnej oddziaływania danej pary cząstek, tj.

Ponieważ funkcja zależy tylko od odległości między cząstkami, jasne jest, że praca nie zależy od wyboru układu odniesienia.

Rozważmy teraz układ trzech cząstek, ponieważ wynik uzyskany w tym przypadku można łatwo uogólnić na układ dowolnej liczby cząstek. Elementarną pracę, jaką wykonują wszystkie siły oddziaływania podczas elementarnego ruchu wszystkich cząstek, można przedstawić jako sumę elementarnych prac wszystkich trzech par oddziaływań, tj.

Ale dla każdej pary interakcji, jak pokazano , Dlatego

gdzie jest funkcja własną energię potencjalną dany układ cząstek:

Ponieważ każdy wyraz tej sumy zależy od odległości między odpowiednimi cząstkami, oczywiste jest, że energia własna jest potencjalna U danego układu zależy od względnego położenia cząstek w tym samym momencie, czyli innymi słowy od konfiguracji układu.

Podobne rozumowanie obowiązuje dla układu dowolnej liczby cząstek. Dlatego można twierdzić, że Każda konfiguracja dowolnego układu cząstek ma swoją własną energię potencjalną U , a praca wszystkich centralnych sił wewnętrznych przy zmianie konfiguracji układu jest równa spadkowi własnej energii potencjalnej układu, tj.

i wraz z ostatecznym ruchem wszystkich cząstek układu

gdzie i są wartościami energii potencjalnej układu w stanie początkowym i końcowym.

Własna energia potencjalna układu U jest wielkością nieaddytywną, czyli w ogólnym przypadku nie jest równa sumie własnych energii potencjalnych jego części. Należy także wziąć pod uwagę energię potencjalną oddziaływania pomiędzy poszczególnymi częściami układu

gdzie jest energią własnego potencjału części układu.

Należy również pamiętać, że energia potencjalna układu, podobnie jak energia potencjalna oddziaływania każdej pary cząstek, jest wyznaczana aż do dodania dowolnej stałej, co jednak jest tutaj zupełnie nieistotne.

Podsumowując, przedstawiamy przydatne wzory do obliczania energii potencjalnej własnej układu. Przede wszystkim pokażemy, że energię tę można przedstawić jako.

gdzie jest energią potencjalną oddziaływania cząstki ze wszystkimi innymi cząstkami układu. Tutaj suma obejmuje wszystkie cząstki układu. Sprawdźmy najpierw słuszność tego wzoru dla układu trzech cząstek. Wykazano powyżej, że energia potencjalna własna tego układu Przekształćmy tę kwotę w następujący sposób. Przedstawmy każdy termin w formie symetrycznej: , bo to jasne. Następnie

Pogrupujmy członków o tym samym pierwszym indeksie:

Każda suma w nawiasach reprezentuje energię potencjalną oddziaływania cząstki z pozostałymi dwoma. Dlatego ostatnie wyrażenie można przepisać w następujący sposób:

co w pełni odpowiada wzorowi (7.8).

Uogólnienie uzyskanego wyniku na dowolny układ jest oczywiste, gdyż jasne jest, że takie rozumowanie jest całkowicie niezależne od liczby cząstek tworzących układ.

W przypadku układu, którego oddziaływanie między cząstkami ma charakter grawitacyjny lub kulombowski, wzór (7.8) można przekształcić do innej postaci, wykorzystując pojęcie potencjału. Zastąpmy energię potencjalną cząstki w (7.8) wyrażeniem , gdzie jest masa (ładunek) cząstki, a jest potencjałem wytworzonym przez wszystkie inne cząstki układu w miejscu, w którym cząstka się znajduje.

gdzie jest gęstością objętościową masy lub ładunku, jest elementem objętości. Całkowanie odbywa się tutaj po całej objętości zajmowanej przez masy lub ładunki.

Klasyfikujmy siły według ich właściwości. Wiadomo, że cząstki rozpatrywanego układu mogą oddziaływać zarówno ze sobą, jak i z ciałami nie wchodzącymi w skład tego układu. Zgodnie z tym nazywane są siły oddziaływania między cząstkami układu wewnętrzny , i sił wywołanych działaniem innych ciał nie objętych tym układem - zewnętrzny. W nieinercjalnym układzie odniesienia powinien on uwzględniać także siły bezwładności.

Ponadto wszystkie siły są podzielone na potencjał I niepotencjalny . Siły potencjalne to takie siły, które dla danego typu interakcji zależą jedynie od konfiguracji układu mechanicznego. Praca tych sił, jak pokazano, jest równa utracie energii potencjalnej układu. Do sił pozapotencjalnych zalicza się tzw rozpraszający siły to siły tarcia i oporu, a także energia siły powodujące wzrost energii mechanicznej układu pod wpływem innych rodzajów energii (na przykład eksplozja pocisku artyleryjskiego). Ważną cechą tych sił jest praca całkowita wewnętrzny siły rozpraszające rozpatrywanego układu są ujemne, a siły energetyczne dodatnie i w dowolnym układzie odniesienia. Udowodnimy to dla sił rozpraszających.

Dowolną siłę rozpraszającą można przedstawić w postaci

gdzie jest prędkością danego ciała względem innego ciała (lub ośrodka), z którym oddziałuje; - współczynnik dodatni, zależny w ogólnym przypadku od prędkości. Siła jest zawsze skierowana przeciwnie do wektora. W zależności od wyboru układu odniesienia praca wykonana przez tę siłę może być dodatnia lub ujemna. Całkowita praca wszystkich wewnętrznych sił rozpraszających jest zawsze ujemna . Przechodząc do dowodu, zauważamy przede wszystkim, że wewnętrzne siły rozpraszające w danym układzie będą występować parami i w każdej parze, zgodnie z trzecim prawem Newtona, są one równe pod względem wielkości i przeciwne w kierunku. Znajdźmy elementarną pracę dowolnej pary rozpraszających sił interakcji między ciałami 1 I 2 w układzie odniesienia, w którym prędkości tych ciał w danej chwili są równe:

Teraz weźmy to pod uwagę - prędkość ciała 1 względem ciała 2 , a także to . Następnie wyrażenie na pracę przekształca się w następujący sposób:

To pokazuje, że praca dowolnej pary wewnętrznych sił oddziaływania rozpraszającego jest zawsze ujemna, a zatem całkowita praca wszystkich par wewnętrznych sił rozpraszających jest zawsze ujemna. Zatem rzeczywiście

Teraz możemy sformułować prawo zachowania całkowitej energii mechanicznej układu cząstek. Powyżej pokazano, że przyrost energii kinetycznej układu jest równy wykonanej pracy Wszystko działające siły Wszystko cząsteczki układu. Dzieląc te siły na zewnętrzne i wewnętrzne, a wewnętrzne z kolei na potencjalne i niepotencjalne, poprzednie stwierdzenie zapisujemy następująco:

Weźmy teraz pod uwagę, że praca wewnętrznych sił potencjalnych jest równa utracie własnej energii potencjalnej układu, tj.

Wtedy poprzednie wyrażenie przyjmie formę

Jasne, że energia mi zależy od prędkości cząstek układu, charakteru interakcji między nimi oraz konfiguracji układu. Poza tym energia MI, jak energia potencjalna U, jest określana aż do dodania nieistotnej dowolnej stałej i jest ilością nieaddytywny , czyli energia mi układ nie jest w ogólnym przypadku równy sumie energii jego poszczególnych części. Zgodnie z (7.7)

gdzie jest energią mechaniczną części układu, jest energią potencjalną oddziaływania poszczególnych jego części.

Wróćmy do wzoru (7.16). Przepiszmy to, biorąc pod uwagę (7.17) w formularzu

We wszystkich zjawiskach zachodzących w przyrodzie energia nie pojawia się ani nie znika. Przechodzi jedynie z jednego typu w drugi, a jego znaczenie pozostaje takie samo.

Prawo zachowania energii- podstawowe prawo natury, które polega na tym, że dla izolowanego układu fizycznego można wprowadzić skalarną wielkość fizyczną, która jest funkcją parametrów układu i nazywa się energią, która jest zachowywana w czasie. Ponieważ prawo zachowania energii nie dotyczy konkretnych wielkości i zjawisk, ale odzwierciedla ogólny wzór, który ma zastosowanie wszędzie i zawsze, można je nazwać nie prawem, ale zasadą zachowania energii.

Prawo zachowania energii mechanicznej

W mechanice prawo zachowania energii głosi, że w zamkniętym układzie cząstek energia całkowita, będąca sumą energii kinetycznej i potencjalnej i niezależna od czasu, jest całką ruchu. Prawo zachowania energii obowiązuje tylko w przypadku układów zamkniętych, to znaczy przy braku zewnętrznych pól lub interakcji.

Siły oddziaływania pomiędzy ciałami, dla których spełniona jest zasada zachowania energii mechanicznej, nazywane są siłami zachowawczymi. Prawo zachowania energii mechanicznej nie jest spełnione w przypadku sił tarcia, ponieważ w obecności sił tarcia energia mechaniczna zamienia się w energię cieplną.

Sformułowanie matematyczne

Ewolucja mechanicznego układu punktów materialnych o masach \(m_i\) zgodnie z drugim prawem Newtona spełnia układ równań

\[ m_i\dot(\mathbf(v)_i) = \mathbf(F)_i \]

Gdzie
\(\mathbf(v)_i \) to prędkości punktów materialnych, a \(\mathbf(F)_i \) to siły działające na te punkty.

Jeśli przedstawimy siły jako sumę sił potencjalnych \(\mathbf(F)_i^p \) i sił niepotencjalnych \(\mathbf(F)_i^d \) i zapiszemy siły potencjalne w postaci

\[ \mathbf(F)_i^p = - \nabla_i U(\mathbf(r)_1, \mathbf(r)_2, \ldots \mathbf(r)_N) \]

następnie mnożąc wszystkie równania przez \(\mathbf(v)_i \) możemy otrzymać

\[ \frac(d)(dt) \sum_i \frac(mv_i^2)(2) = - \sum_i \frac(d\mathbf(r)_i)(dt)\cdot \nabla_i U(\mathbf(r )_1, \mathbf(r)_2, \ldots \mathbf(r)_N) + \sum_i \frac(d\mathbf(r)_i)(dt) \cdot \mathbf(F)_i^d \]

Pierwsza suma po prawej stronie równania jest niczym innym jak pochodną funkcji zespolonej po czasie i dlatego, jeśli wprowadzimy zapis

\[ E = \sum_i \frac(mv_i^2)(2) + U(\mathbf(r)_1, \mathbf(r)_2, \ldots \mathbf(r)_N) \]

i nazwij tę wartość energia mechaniczna, to całkując równania od czasu t=0 do czasu t otrzymamy

\[ E(t) - E(0) = \int_L \mathbf(F)_i^d \cdot d\mathbf(r)_i \]

gdzie całkowanie odbywa się wzdłuż trajektorii ruchu punktów materialnych.

Zatem zmiana energii mechanicznej układu punktów materialnych w czasie jest równa pracy sił niepotencjalnych.

Prawo zachowania energii w mechanice jest spełnione tylko dla układów, w których wszystkie siły są potencjalne.

Prawo zachowania energii dla pola elektromagnetycznego

W elektrodynamice prawo zachowania energii jest historycznie formułowane w formie twierdzenia Poyntinga.

Zmiana energii elektromagnetycznej zawartej w określonej objętości w określonym przedziale czasu jest równa przepływowi energii elektromagnetycznej przez powierzchnię ograniczającą tę objętość oraz ilości energii cieplnej wyzwolonej w tej objętości, branej ze znakiem przeciwnym.

$ \frac(d)(dt)\int_(V)\omega_(em)dV=-\oint_(\częściowe V)\vec(S)d\vec(\sigma)-\int_V \vec(j)\ cdot \vec(E)dV $

Pole elektromagnetyczne ma energię rozproszoną w przestrzeni zajmowanej przez to pole. Kiedy zmienia się charakterystyka pola, zmienia się także rozkład energii. Przepływa z jednego obszaru przestrzeni do drugiego, ewentualnie przekształcając się w inne formy. Prawo zachowania energii gdyż pole elektromagnetyczne jest konsekwencją równań pola.

Wewnątrz jakiejś zamkniętej powierzchni S, ograniczenie ilości miejsca V zajmowane przez pole zawiera energię W— energia pola elektromagnetycznego:

W=Σ(εε 0 E i 2/2 +μμ 0 H i 2 / 2)ΔV i .

Jeśli w tej objętości występują prądy, wówczas pole elektryczne wytwarza pracę nad ruchomymi ładunkami równymi

N=Σ Ij̅ i ×E̅ i . ΔV i .

Jest to ilość energii pola, która przekształca się w inne formy. Z równań Maxwella wynika, że

ΔW + NΔt = -Δt∮ SS̅ × n̅. dA,

Gdzie ΔW— zmiana energii pola elektromagnetycznego w rozpatrywanej objętości w czasie Δt, wektor S = MI × H zwany wektor wskazujący.

Ten prawo zachowania energii w elektrodynamice.

Przez mały obszar wielkości ΔA z jednostkowym wektorem normalnym N na jednostkę czasu w kierunku wektora N przepływy energii S × N.ΔA, Gdzie S- oznaczający wektor wskazujący w serwisie. Suma tych wielkości po wszystkich elementach powierzchni zamkniętej (oznaczonych znakiem całki), stojąca po prawej stronie równości, reprezentuje energię wypływającą z objętości ograniczonej powierzchnią w jednostce czasu (jeśli ta wielkość jest ujemna , wówczas energia przepływa do objętości). wektor wskazujący określa przepływ energii pola elektromagnetycznego przez obiekt; jest on niezerowy wszędzie tam, gdzie iloczyn wektorowy wektorów natężenia pola elektrycznego i magnetycznego jest niezerowy.

Można wyróżnić trzy główne obszary praktycznego zastosowania energii elektrycznej: przesyłanie i przetwarzanie informacji (radio, telewizja, komputery), przesyłanie impulsu i momentu pędu (silniki elektryczne), przetwarzanie i przesyłanie energii (generatory elektryczne i linie energetyczne). Zarówno pęd, jak i energia przenoszone są przez pole przez pustą przestrzeń; obecność ośrodka prowadzi jedynie do strat. Energia nie jest przesyłana przewodami! Druty przewodzące prąd są potrzebne do wytworzenia pól elektrycznych i magnetycznych o takiej konfiguracji, że przepływ energii, wyznaczony za pomocą wektorów Poyntinga we wszystkich punktach przestrzeni, jest kierowany od źródła energii do odbiorcy. Energię można przesyłać bez przewodów; wówczas jest ona przenoszona za pomocą fal elektromagnetycznych. (Wewnętrzna energia Słońca maleje i jest unoszona przez fale elektromagnetyczne, głównie światło. Dzięki części tej energii życie na Ziemi jest podtrzymywane.)

Całkowita energia mechaniczna układu () to energia energii mechanicznej i interakcji:

gdzie jest energia kinetyczna ciała; - energia potencjalna ciała.

Prawo zachowania energii powstało w wyniku uogólnienia danych empirycznych. Pomysł takiego prawa należał do M.V. Łomonosow, który wprowadził prawo zachowania materii i ruchu. Prawo to zostało sformułowane ilościowo przez niemieckiego lekarza J. Mayera i przyrodnika. Helmholtza.

Sformułowanie prawa zachowania energii mechanicznej

Jeśli w układzie ciał działają tylko siły zachowawcze, wówczas całkowita energia mechaniczna pozostaje stała w czasie. (Zachowawcze (potencjalne) to siły, których praca nie zależy od: rodzaju trajektorii, punktu, do którego te siły są przyłożone, prawa opisującego ruch tego ciała i jest określone wyłącznie przez punkty początkowy i końcowy trajektoria ciała (punkt materialny)).

Układy mechaniczne, w których działają wyłącznie siły zachowawcze, nazywane są układami konserwatywnymi.

Uważa się, że inne sformułowanie prawa zachowania energii mechanicznej jest następujące:

W przypadku układów konserwatywnych całkowita energia mechaniczna układu jest stała.

Matematyczne sformułowanie prawa zachowania energii mechanicznej wygląda następująco:

Znaczenie prawa zachowania energii mechanicznej

Prawo to jest związane z właściwością jednorodności czasu. Co oznacza niezmienność praw fizyki w odniesieniu do wyboru początku odniesienia czasu?

W układach rozpraszających energia mechaniczna maleje, ponieważ energia mechaniczna jest przekształcana w energię niemechaniczną. Proces ten nazywany jest rozpraszaniem energii.

W układach konserwatywnych całkowita energia mechaniczna jest stała. Następuje przejście od energii kinetycznej do energii potencjalnej i odwrotnie. W konsekwencji prawo zachowania energii mechanicznej odzwierciedla nie tylko zasadę zachowania energii w ujęciu ilościowym, ale wskazuje na jakościową stronę wzajemnego przekształcania się różnych form ruchu w siebie.

Prawo zachowania i przemiany energii jest podstawowym prawem natury. Odbywa się to zarówno w świecie makro, jak i mikro.

Przykłady rozwiązywania problemów

PRZYKŁAD 1

PRZYKŁAD 2