Siły i energia potencjalna oddziaływań międzycząsteczkowych. Krzywa energii potencjalnej Zależność energii potencjalnej od odległości między cząsteczkami
Kolizja cząsteczki, które nazwiemy proces ich interakcji, w wyniku którego zmieniają się prędkości cząsteczek .
Naturę oddziaływania cząsteczek można sobie wyobrazić, jeśli weźmiemy pod uwagę zależność energii potencjalnej oddziaływania cząsteczek od odległości między ich środkami. Zależność ta ma postać w przybliżeniu pokazaną na rysunku 11.2.
Wyobraźmy sobie, że jedna cząsteczka znajduje się na początku współrzędnych, a druga zbliża się do niej od „nieskończoności”, mając bardzo małą energię kinetyczną. Na odległościach przekraczających , oddziaływanie cząsteczek ma charakter przyciągania. Rzeczywiście, dla Wraz ze wzrostem odległości między cząsteczkami wzrasta energia potencjalna. Oznacza to, że jej gradient jest skierowany na zwiększanie odległości między cząsteczkami, a siła oddziaływania () jest skierowana na zmniejszanie odległości między cząsteczkami. Dlatego gdy cząsteczki zbliżają się do siebie, ich wzajemna prędkość wzrasta: energia potencjalna interakcji zamienia się w energię kinetyczną, a zbliżająca się cząsteczka przyspiesza.
Na odległościach mniejszych niż przyciąganie zostaje zastąpione szybko rosnącym odpychaniem. Energia potencjalna oddziaływania gwałtownie rośnie (kinetyczna zamienia się w potencjalną), a gdy jest równa początkowej energii kinetycznej, cząsteczki zatrzymują się. Następnie zachodzą procesy odwrotne, cząsteczki rozpadają się.
Nazywa się minimalną odległość d, na jaką zbliżają się do siebie środki cząsteczek podczas zderzenia efektywna średnica molekularna . Ilość nazywa się efektywny przekrój cząsteczki . jest równa polu przekroju poprzecznego cylindra, wzdłuż osi którego porusza się dana cząsteczka, tak że jeśli środek innej cząsteczki wpadnie do objętości cylindra, wówczas cząsteczki muszą się zderzyć.
Jasne jest, że wraz ze wzrostem temperatury centra cząsteczek podczas zderzeń będą się zatem zbliżać do siebie efektywna średnica zależy od temperatury . Należy pamiętać, że wzrost potencjalnej energii odpychania następuje bardzo szybko, dlatego też zależność średnicy efektywnej od temperatury koniecznie występuje, ale nie jest bardzo wyraźny .
W ciągu sekundy cząsteczka pokonuje średnią odległość równą jej średniej prędkości. Jeśli za sekundę ulegnie kolizjom, następnie średnia wolna ścieżka cząsteczki
Do obliczeń zakładamy, że wszystkie cząsteczki, z wyjątkiem tej, znajdują się w spoczynku na swoich miejscach. Po uderzeniu w jedną ze stacjonarnych cząsteczek, ta będzie leciała po linii prostej, aż zderzy się z drugą. Następna kolizja nastąpi, jeśli środek bez ruchu cząsteczki będą pochodzić z linii prostej, po której leci dany cząsteczkę w odległości mniejszej niż jej efektywna średnica. W ciągu sekundy cząsteczka zderzy się ze wszystkimi cząsteczkami, których środki mieszczą się w objętości wykorbionego cylindra o podstawie i długości równej średniej prędkości. Jeśli stężenie cząsteczek wynosi N, to liczba kolizji na tej ścieżce
Należy wziąć pod uwagę, że w rzeczywistości wszystkie cząsteczki się poruszają, a w (11.9) należy wziąć pod uwagę nie , ale średnią względny prędkość ruchu cząsteczek, która jest kilkakrotnie większa. Następnie dla średniej ścieżki swobodnej l możemy napisać:
Interesujące kwantyfikacja l I . Zakładamy, że w cieczy cząsteczki znajdują się w małych odległościach od siebie. Następnie trzeci pierwiastek z objętości cząsteczki da nam szacunkową wielkość cząsteczki. Jeden mol wody zajmuje objętość 18 * 10 -10 m3 i zawiera liczbę Avogadro 6 * 10 23 cząsteczek. Zatem na cząsteczkę przypada „30*10 -30 m3, a średnica cząsteczki wynosi” 3*10 -10 m. W warunkach zbliżonych do normalnych jeden mol gazu zajmuje objętość . Następnie można oszacować stężenie cząsteczek w warunkach normalnych ze wzoru, a średnią drogę swobodną zgodnie ze wzorem (11.10)
Wiązanie chemiczne. Zależność energii potencjalnej od odległości międzyjądrowej w cząsteczce dwuatomowej. Rodzaje wiązań chemicznych. Główne cechy wiązania chemicznego: długość, energia, krotność wiązania, kąt wiązania. Rodzaje wiązań chemicznych. Wiązanie jonowe. Połączenie metalowe. Oddziaływania międzycząsteczkowe. Wiązanie wodorowe.
Tworzenie związków chemicznych wynika z powstawania wiązań chemicznych pomiędzy atomami w cząsteczkach i kryształach.
Wiązanie chemiczne– zespół oddziaływań atomów, prowadzących do powstania stabilnych układów (cząsteczek, kompleksów, kryształów itp.). Wiązanie chemiczne zachodzi, jeśli w wyniku nakładania się chmur elektronowych atomów całkowita energia układu maleje.
Miarą siły wiązania chemicznego pomiędzy atomami A i B jest: energia wiązania E A-B, który jest określony pracą potrzebną do zniszczenia danego połączenia. Zatem, aby atomizować 1 mol gazowego wodoru, konieczne jest wydatkowanie energii E = 436 kJ, dlatego utworzenie cząsteczki H2 z atomów
H+H=H 2 towarzyszy wyzwolenie takiej samej ilości energii, tj. EH-H = 436 kJ/mol.
Ważną cechą komunikacji jest jej długość, tj. odległość między środkami atomów A i B w cząsteczce. Energia i długość wiązań zależą od charakteru rozkładu gęstości elektronów pomiędzy atomami. Na rozkład gęstości elektronów wpływa przestrzenność orientacja chemiczna komunikacja. Jeśli cząsteczki dwuatomowe są zawsze liniowe, wówczas kształty cząsteczek wieloatomowych mogą być różne. Zatem cząsteczka trójatomowa może mieć kształt liniowy lub kątowy. Narożnik między wyimaginowanymi liniami, które można poprowadzić przez środki połączonych atomów wartościowość
Rozkład gęstości elektronów pomiędzy atomami zależy również od wielkości atomów i ich elektroujemność– zdolność atomów do przyciągania gęstości elektronowej partnerów. W cząsteczkach homoatomowych (tj. składających się z identycznych atomów) gęstość elektronów rozkłada się równomiernie pomiędzy atomami. W cząsteczkach heteroatomowych (składających się z atomów różnych pierwiastków) gęstość elektronów przesuwa się w kierunku, który pomaga zmniejszyć energię układu (w kierunku pierwiastka bardziej elektroujemnego). Gęstość elektronów wzrasta w pobliżu jądra atomu pierwiastka bardziej elektroujemnego. Wiązanie w cząsteczkach heteroatomowych jest zawsze w pewnym stopniu polarny, ponieważ gęstość elektronów w nich jest rozłożona asymetrycznie.
Tworzenie wiązania kowalencyjnego następuje z powodu niesparowanych elektronów każdego atomu, które tworzą wspólną parę. Jeżeli pomiędzy atomami powstało jedno wiązanie (jedna wspólna para), np połączenie nazywa się pojedynczym. Przykład HCl, HBr, NaCl, H2
Jeśli między atomami pojawi się więcej niż jedna wspólna para elektronów, wówczas nazywa się wiązanie wielokrotności: podwójne (dwie wspólne pary), potrójne (trzy wspólne pary). Przykładem cząsteczki z potrójnym wiązaniem jest cząsteczka azotu. Każdy atom azotu ma trzy niesparowane elektrony p. Każdy z nich bierze udział w tworzeniu połączenia. W cząsteczce N2 występują trzy wiązania pomiędzy atomami. Obecność potrójnego wiązania wyjaśnia wysoką stabilność chemiczną cząsteczki. Przykład z podwójnym wiązaniem O2. Każdy atom tlenu ma 2 niesparowane elektrony p, które biorą udział w tworzeniu wiązań.
Zależność energii potencjalnej od odległości między atomami w cząsteczce dwuatomowej wyraża się następującą zależnością: (rysunek i równanie na stronie 112)
U = 1∕4πε 0 × (e 2 ∕ r A-B + e 2 ∕ r 12 - e 2 ∕ r A1 - e 2 ∕ r B2 - e 2 ∕ r A2 - e 2 ∕ r B1), gdzie ε 0 - elektryczny stały. Dlatego energia potencjalna jest odwrotnie proporcjonalna do odległości między jądrami w cząsteczce dwuatomowej.
Jonowe wiązanie chemiczne to wiązanie utworzone przez przyciąganie elektrostatyczne kationów (jonów naładowanych dodatnio) do anionów (jonów naładowanych ujemnie).
Najbardziej stabilna konfiguracja elektronowa atomów to taka, w której na zewnętrznym poziomie elektronowym atomy są jak gazy szlachetne. Będzie 8 elektronów (lub w pierwszym okresie 2). Podczas oddziaływań chemicznych atomy dążą do uzyskania właśnie takiej stabilnej konfiguracji elektronowej i często osiągają to albo w wyniku zdobycia elektronów walencyjnych od innych atomów (proces redukcji), albo w wyniku oddania swoich elektronów walencyjnych (otwarcie wypełnionej warstwy ) - proces utleniania. Atomy, które dodały obce elektrony, zamieniają się w jony ujemne - aniony. Atomy oddające swoje elektrony zamieniają się w jony dodatnie – kationy. Pomiędzy anionami i kationami powstają elektrostatyczne siły przyciągania, które utrzymują je blisko siebie, tworząc w ten sposób wiązanie jonowe. Ponieważ kationy tworzą głównie atomy metali, a aniony atomy niemetali, ten typ wiązania jest typowy dla związków typowych metali (pierwiastki głównej podgrupy grup 1-2 z wyjątkiem Mg, Be) z typowymi niemetalami (pierwiastki główna podgrupa grupy 7) NaCl. Substancje posiadające wiązania jonowe mają jonową sieć krystaliczną. Związki jonowe są twardsze, mocniejsze i bardziej ogniotrwałe. Roztwory i stopy większości związków jonowych to elektrolity. Ten typ wiązania jest charakterystyczny dla wodorotlenków typowych metali i wielu soli kwasów zawierających tlen (rozpuszczalnych). Kiedy tworzy się wiązanie jonowe, nie następuje całkowite (idealne) przeniesienie elektronów. Oddziaływanie jonów nie zależy od kierunku; w przeciwieństwie do wiązania kowalencyjnego jest bezkierunkowe. Wiązanie jonowe występuje w solach amonowych, gdzie rolę kationu pełni jon NH 4+ - amonowy. (NH4)OH, NH4Cl.
Wiązanie w metalach i stopach, które jest tworzone przez stosunkowo wolne (uogólnione) elektrony pomiędzy jonami metali w metalowej sieci krystalicznej, nazywa się metalicznym. Wiązanie takie jest bezkierunkowe, nienasycone, charakteryzuje się małą liczbą elektronów walencyjnych (zewnętrznych niesparowanych) i dużą liczbą wolnych orbitali, co jest typowe dla atomów metali. Obecność wiązania metalicznego decyduje o właściwościach fizycznych metali i stopów: twardości, przewodności elektrycznej i cieplnej, ciągliwości, ciągliwości, połysku. Substancje z wiązaniem metalicznym mają metaliczną sieć krystaliczną. Jego węzły zawierają atomy lub jony, pomiędzy którymi swobodnie (w krysztale) przemieszczają się elektrony (gaz elektronowy). Wiązanie metaliczne jest charakterystyczne tylko dla skondensowanego stanu materii. W stanie pary i gazu atomy wszystkich substancji, w tym metali, są połączone ze sobą jedynie wiązaniami kowalencyjnymi. Gęstość elektronów wiązania metalicznego jest równomiernie rozłożona we wszystkich kierunkach. Wiązanie metaliczne nie wyklucza pewnego stopnia kowalencji. W swojej częstej postaci wiązania metaliczne są charakterystyczne tylko dla metali alkalicznych i ziem alkalicznych. W metalach przejściowych tylko niewielka część elektronów walencyjnych jest w stanie współdzielenia. Liczba elektronów należących do całego kryształu jest niewielka. Pozostałe elektrony wykonują skierowane wiązania kowalencyjne pomiędzy sąsiadującymi atomami. Tworzenie wiązań może zachodzić nie tylko między atomami, ale także między cząsteczkami. Powoduje kondensację gazów i ich przemianę w ciecz i ciało stałe. Pierwsze sformułowanie sił oddziaływania międzycząsteczkowego zostało podane w 1871 roku przez Van der Waalsa. (siły Van der Waalsa). Cząsteczki polarne, ze względu na przyciąganie elektrostatyczne końców dipoli, są zorientowane w przestrzeni w taki sposób, że ujemne końce dipoli niektórych cząsteczek są zwrócone w kierunku dodatnich końców dipoli innych cząsteczek. Energia takiego oddziaływania jest określona przez przyciąganie elektrostatyczne dwóch dipoli. Im większy dipol, tym silniejsze przyciąganie międzycząsteczkowe. Pod wpływem dipola jednej cząsteczki dipol drugiej może wzrosnąć, a cząsteczka niepolarna może stać się polarna. Taki moment dipolowy, który pojawia się pod wpływem dipola innej cząsteczki, nazywa się indukowanym momentem dipolowym, a samo zjawisko nazywa się indukcją. Wiadomo, że H 2, O 2, N 2 i gazy szlachetne ulegają skropleniu. Aby wyjaśnić ten fakt, wprowadzono pojęcie sił dyspersji oddziaływań międzycząsteczkowych. Siły te działają pomiędzy dowolnymi atomami i cząsteczkami, niezależnie od ich struktury. Siły te oraz siły van der Waalsa są bardzo słabe.
Szczególnym rodzajem wiązania chemicznego jest wiązanie wodorowe.. Wodór to wiązanie chemiczne pomiędzy dodatnio spolaryzowanymi atomami wodoru jednej cząsteczki (lub jej części) a ujemnie spolaryzowanymi atomami silnie elektroujemnych pierwiastków posiadających wolne pary elektronów. Mechanizm tworzenia wiązań wodorowych jest częściowo elektrostatyczny, częściowo ma charakter donorowo-akceptorowy (rysunek na stronie 147); w obecności takiego wiązania nawet substancje niskocząsteczkowe mogą w normalnych warunkach być cieczami. W białkach wewnątrz cząsteczki występuje wiązanie wodorowe pomiędzy tlenem karbonylowym i grupą aminowo-wodorową. W DNA dwa łańcuchy nukleotydów są połączone ze sobą wiązaniami wodorowymi. Substancje posiadające wiązania wodorowe mają molekularną sieć krystaliczną. Energia wiązania wodorowego (21-29 kJ∕mol) jest prawie 10 razy mniejsza niż energia konwencjonalnego wiązania chemicznego. Ale sieciuje wszystkie cząsteczki, a po podgrzaniu one pierwsze pękają.
Jeśli oznaczymy masę cząsteczki ciała i prędkość jej ruchu translacyjnego, wówczas energia kinetyczna ruchu translacyjnego cząsteczki będzie równa
Cząsteczki ciała mogą mieć różne prędkości i rozmiary, dlatego do scharakteryzowania stanu ciała wykorzystuje się średnią energię ruchu translacyjnego
gdzie jest całkowitą liczbą cząsteczek w organizmie. Jeśli wszystkie cząsteczki są takie same, to
Tutaj oznacza średnią kwadratową prędkość chaotycznego ruchu cząsteczek:
Ponieważ między cząsteczkami istnieją siły interakcji, cząsteczki ciała oprócz energii kinetycznej mają energię potencjalną. Zakładamy, że energia potencjalna pojedynczej cząsteczki, która nie oddziałuje z innymi cząsteczkami, jest równa zeru. Następnie podczas interakcji dwóch cząsteczek energia potencjalna wywołana siłami odpychania będzie dodatnia, a siły przyciągające będą ujemne (ryc. 2.1, b), ponieważ kiedy cząsteczki się połączą, należy wykonać pewną ilość pracy zrobić, aby pokonać siły odpychające, a siły przyciągające, przeciwnie, same wykonują tę pracę. Na ryc. Rysunek 2.1, b pokazuje wykres zmian energii potencjalnej oddziaływania między dwiema cząsteczkami w zależności od odległości między nimi. Część wykresu energii potencjalnej w pobliżu jej najniższej wartości nazywa się studnią potencjału, a wartość najniższej wartości energii nazywa się głębokością studni potencjału.
W przypadku braku energii kinetycznej cząsteczki byłyby zlokalizowane w odległości odpowiadającej ich stabilnej równowadze, ponieważ wypadkowa sił molekularnych w tym przypadku wynosi zero (ryc. 2.1, a), a energia potencjalna jest minimalna. Aby usunąć cząsteczki od siebie, należy wykonać pracę, aby pokonać siły oddziaływania między cząsteczkami,
równej wielkości (innymi słowy, cząsteczki muszą pokonać potencjalną barierę wysokości
Ponieważ w rzeczywistości cząsteczki zawsze mają energię kinetyczną, odległość między nimi stale się zmienia i może być większa lub mniejsza. Jeśli energia kinetyczna cząsteczki B jest mniejsza, na przykład na ryc. wówczas cząsteczka będzie poruszać się w obrębie studni potencjału. Pokonując przeciwdziałanie siłom przyciągania (lub odpychania), cząsteczka B może oddalić się od A (lub zbliżyć się) na odległość, na której cała jej energia kinetyczna zostaje zamieniona na energię potencjalną oddziaływania. Te skrajne pozycje cząsteczki są określone przez punkty na krzywej potencjału na poziomie od dna studni potencjału (ryc. 2.1, b). Siły przyciągające (lub odpychające) wypychają następnie cząsteczkę B z tych skrajnych pozycji. Zatem siły interakcji utrzymują cząsteczki blisko siebie w pewnej średniej odległości.
Jeśli energia kinetyczna cząsteczki B jest większa niż Yamiv (Epost” na ryc. 2.1, b), wówczas pokona ona barierę potencjału, a odległość między cząsteczkami może wzrosnąć bez ograniczeń.
Kiedy cząsteczka porusza się w studni potencjału, im większa jest jej energia kinetyczna (na ryc. 2.1, b), tj. im wyższa temperatura ciała, tym większa staje się średnia odległość między cząsteczkami. Wyjaśnia to ekspansję ciał stałych i płyny po podgrzaniu.
Wzrost średniej odległości między cząsteczkami można wytłumaczyć faktem, że wykres energii potencjalnej po lewej stronie wykresu rośnie znacznie bardziej stromo niż po prawej stronie. Ta asymetria wykresu wynika z faktu, że siły odpychające maleją wraz ze wzrostem znacznie szybciej niż siły przyciągające (ryc. 2.1, a).
Jeżeli w układzie działają tylko siły zachowawcze (pole potencjalne), to jego stan można scharakteryzować wartością energii potencjalnej w funkcji współrzędnych.
Wybierzmy jakąś pozycję układu, którą umownie przyjmiemy jako zero (pozycja 0) i przypiszemy tej pozycji układu energię potencjalną Przez, równy zeru. Załóżmy teraz, że musimy wyznaczyć energię potencjalną układu w innym położeniu, które nazwiemy pozycją 1, tj. rozmiar Px. Energia potencjalna układu w pozycji 1 jest wielkością liczbowo równą pracy sił pola, jaka zachodzi, gdy układ przechodzi z danego położenia do takiego, w którym energia potencjalna jest równa zeru
Z uwagi na to, że pole jest potencjalne, praca Lw nie zależy od drogi od 1 do 0, ale charakteryzuje układ w punkcie 1 w stosunku do punktu 0.
Jeśli po tym układ przesunie się do pozycji 2, wówczas jego energia potencjalna stanie się P2, z definicji ZA 2[ - P 2 - I,. Ponieważ L21 = -A 2, Stanowisko
te. praca sił wewnętrznych (natężenie pola) jest równe utracie energii potencjalnej. Przeciwnie, działanie sił zewnętrznych działających wbrew siłom pola prowadzi do wzrostu energii potencjalnej
Pozycję 0 wybrano arbitralnie; dla zera można wybrać dowolną inną pozycję i przypisać jej wartość P= 0. Oznacza to, że energię potencjalną określa się z dokładnością do stałego składnika stałej C. Ta „dowolność” nie jest praktycznie znacząca, ponieważ przy obliczaniu różnicy energii potencjalnych (patrz na przykład wyrażenia (1.123) - (1.125)) stałe C w różnicy znoszą się nawzajem. Ponadto obecność stałej C nie wpływa na pochodną funkcji energii potencjalnej względem współrzędnych.
Otrzymane zależności pokazują, w jaki sposób można obliczyć energię potencjalną układu w określonym położeniu. Nie ma na to jednego uniwersalnego wzoru (jak ma to miejsce na przykład w przypadku obliczania energii kinetycznej). Relacje (1.123) - (1.125) pokazują sposób (podaj algorytm lub przepis) wyznaczania energii potencjalnej układu poprzez obliczenie pracy sił, które doprowadziły układ do zadanego położenia.
Jako przykład przyjrzyjmy się kilku ważnym przypadkom.
1. Obliczmy energię potencjalną sprężyście odkształconej sprężyny. Na rysunku 1.22 widać A pokazano schemat sprężyny w stanie początkowo nieodkształconym: lewy koniec sprężyny jest sztywno zamocowany, drugi koniec może poruszać się wzdłuż osi pod wpływem siły zewnętrznej Oh. Pokazano także sprężynę rozciągniętą pod działaniem siły zewnętrznej (patrz ryc. 1.22, B). W spoczynku na końcu sprężyny rozciągniętej wzdłuż osi X działają dwie przeciwnie skierowane siły: siła zewnętrzna F 2 i siła sprężystości /), oraz F[ = -F 2 . Dla położenia zerowego (o zerowej energii potencjalnej) wybieramy stan nieodkształconej sprężyny (x = 0). Zgodnie z (1.103) cL4 = - pxdx (P - współczynnik sztywności) i
Na wykresie (ryc. 1.22, V) nachylona prosta wyraża zależność E kontrola ex i energię potencjalną P(x) określony przez zacieniony obszar.
2. Drugi przykład związany jest z wyznaczaniem energii potencjalnej ciała w polu grawitacyjnym Ziemi. Oznaczmy masę Ziemi literą M, oraz odległość od środka Ziemi do ciała o masie T symbol g. Następnie, zgodnie z prawem powszechnego ciążenia (1.57)
Dla stanu o zerowej energii potencjalnej przyjmujemy nieskończoną odległość ciała od Ziemi (/7(x) = 0). Z definicji energia potencjalna ciała w danym punkcie G znajdujemy pole grawitacyjne jako pracę wykonaną przez tę siłę przy
N.,„гdr g Góra m
przeniesienie ciała z pozycji g do pozycji g -» » /7(g) = -GMm I - -G- .
Po podstawieniu granic otrzymamy r r r g
Wielkość φ = - nazywana jest potencjałem pola grawitacyjnego. T
Potencjał pola grawitacyjnego jest wielkością fizyczną, która jest liczbowo równa energii potencjalnej, jaką posiada ciało o jednostkowej masie znajdujące się w danym punkcie pola. Potencjał pola grawitacyjnego wytworzonego przez ciało punktowe (PB) lub jednorodną kulę wyraża wzór
Jeżeli znany jest potencjał pola w punkcie o współrzędnej z, to energię potencjalną ciała wyznacza się z prostej zależności
3. Rozważmy energię potencjalną sprężonego gazu. Aby to zrobić, wyobraź sobie cylinder z tłokiem, pod którym znajduje się gaz. Użyjmy siły zewnętrznej F na tłoku. Pod wpływem tej siły tłok sprężający gaz przemieszcza się o wielkość dx. Praca siły F nad gazem definiujemy jako cL4 = Fdx. Od ciśnienia p = F/S, To F=pS I dA = pSdx, gdzie SDx =dV- wielkość zmiany objętości pod cylindrem. Stwierdziliśmy, że działanie sił zewnętrznych dA równy wzrostowi energii potencjalnej układu gazowego AP. To jest
Rozważmy związek między energią potencjalną i siłą. Ponieważ energia potencjalna i siły zachowawcze są oddzielnymi funkcjami tych samych parametrów (współrzędnych), musi istnieć związek między tymi wielkościami fizycznymi. Po ustaleniu tego związku będziemy mogli, mając zadaną zależność funkcyjną siły od współrzędnych punktu pola (x, y,z), gdzie jest ta moc F(x, y,z) działa, znajdź wyrażenie na energię potencjalną P(x, y,z) ciało znajdujące się w tym samym punkcie. Aby ustalić to połączenie, rozważmy ciało w polu niezmiennym w czasie (stacjonarnym). W każdym punkcie takiego pola na ciało będzie działać określona siła F(x, y, z). W tym samym punkcie pola ciało będzie miało pewną (aż do stałej Q) energię potencjalną P(x, y, z). Dokonajmy elementarnego ruchu punktu (ciała) o wielkość d/. W tym przypadku wewnętrzne siły pola wykonają pracę -dll. Z uwagi na to, że zgodnie ze wzorem (1.97) F/dl zmiana energii potencjalnej jest równa pracy d P = -F/dl, Gdzie
Przeanalizujmy otrzymane wyrażenie dla trzech przypadków. Ruch jednowymiarowy wzdłuż osi Wół: d/ =
Ruch w polu centralnym: d/ = dr
Ogólny przypadek trójwymiarowy(we współrzędnych kartezjańskich):
te. siła jest równa gradientowi (antygradientowi) energii potencjalnej branej ze znakiem minus. Przypomnijmy, że gradient jest wektorem, którego kierunek pokrywa się z kierunkiem maksymalnego wzrostu funkcji skalarnej (w naszym przypadku energii potencjalnej); jego wartość bezwzględna określa szybkość wzrostu funkcji w tym kierunku (antygradient ma kierunek przeciwny).
Jak wspomniano wcześniej, fakt, że energia potencjalna jest wyznaczana do stałego członu, nie ma wpływu na wynik obliczeń przy użyciu wzorów (1.131) - (1.134). Po zróżnicowaniu człon ten nie ma niezerowego udziału w wyrażeniu siły.
Uzyskane zależności wykorzystamy do wyznaczenia energii potencjalnej w znanych nam już przypadkach.
- 1. Energia potencjalna sprężyny sprężystej. Ponieważ F(x) =- (dxxx (F(x)) - siła sprężystości, ax to przemieszczenie końca położenia równowagi, a ponieważ F(x) =-(d/7/dx), wówczas (1x = d/7(x)/dx, stąd d P(x) = }
