Zbieżność względna. Naprzemienne rzędy

Twierdzenie. Niech będzie ciągłą, nieujemną, monotonicznie malejącą funkcją zdefiniowaną w . Wtedy szereg i całka albo są zbieżne, albo obydwie rozbieżne.

Dowód. Ze względu na monotoniczność nierówności obowiązują wszystkich. Całkując, otrzymujemy . Następnie , Lub . Dlatego jeśli jest zbieżny, to . Następnie i , szereg jest zbieżny.

Przeciwnie, teraz wiemy, że szereg jest zbieżny. Następnie . Biorąc dowolny, wybieramy tak, że . Następnie . Więc pasuje.

Absolutna zbieżność. Własności szeregów absolutnie zbieżnych

Definicja. Absolutnie Szereg zbieżny to szereg zbieżny, dla którego szereg ten również jest zbieżny.

Łatwo udowodnić, że zbieżność szeregu implikuje zbieżność szeregu. Stosując kryterium Cauchy'ego zastosowane do , otrzymujemy: . Z powstałej nierówności wynika, że ​​kryterium Cauchy'ego jest spełnione także dla szeregu pierwotnego, zatem jest zbieżny.

Oznaczmy, tj. , . Równości są oczywiste: . Rozważmy szereg i . Jeśli są zbieżne, to szereg jest zbieżny , tj. Szereg jest absolutnie zbieżny. Jeśli szereg jest zbieżny, to ponieważ , szereg i również są zbieżne. Zatem dla zbieżności absolutnej zbieżność szeregu i jest konieczna i wystarczająca.

(objaw Leibniza).

Jeśli wyrazy szeregu naprzemiennego (9.4.1), wzięte modulo, tworzą nie wzrasta nieskończenie mała sekwencja, tj. a potem ten rząd zbiega się.

Dajmy przykłady znak naprzemiennych rzędów.

Zbadaj zbieżność szeregu .

Ten rząd zbiega się zgodnie z kryterium Leibniza, ponieważ jego wyrazy maleją w wartości bezwzględnej i przy.

Zbadaj zbieżność szeregu.

Łatwo sprawdzić, że szereg ten spełnia podane warunki Twierdzenia 1 i dlatego zbiega się.

Komentarz. W twierdzeniu Leibniza istotny jest nie tylko warunek, ale także warunek. Tak na przykład dla serialu drugi warunek jest naruszony i chociaż szereg jest rozbieżny. Można to zobaczyć, jeśli szereg ten jest przedstawiony w formie , tj. szereg podwójny harmoniczny.

Pod znak naprzemienny następnie zrozumiemy serię, w której może znajdować się każdy z jej członków pozytywny, Więc negatywny.

Rozważmy przypadek szeregu z wyrazami posiadającymi dowolne znaki:

. (9.4.2)

Rozważmy jednocześnie szereg

, (9.4.3)

gdzie są wyrazy szeregu (9.4.2).

(wystarczający znak zbieżności szeregu przemiennego). Z konwergencja następuje seria (9.4.3). konwergencja seria (9.4.2).

Test D'Alemberta na zbieżność szeregu dodatniego

Niech zostanie podany szereg dodatni i istnieje
. Następnie jeśliq< 1, то ряд сходится; если q >1, to szereg jest rozbieżny.

Dowód: 1) niech q< 1, докажем, что ряд сходится. Поскольку существует предел
, możemy pisać
Lub
an (q - )< a n +1 < a n (q + ). Выберем  таким образом, чтобы q +  < 1. Из полученного двойного неравенства и неравенства q +  < 1 следует, что

N +2< (q + ) a N +1 ;

N +3< (q + ) a N +2 < (q + ) 2 a N +1 ;

N +4< (q + ) a N +3 < (q + ) 3 a N +2 < (q + ) 3 a N +1 .

Zatem wyrazy szeregu a N +2 + a N +3 + a N +4 +... są mniejsze niż odpowiadające im wyrazy nieskończonego postępu geometrycznego a N +1 (q + ) + a N +2 (q + ) 2 + a N + 3 (q + ) 3 +… Mianownik postępu jest mniejszy niż jeden, zatem postęp jest szeregiem zbieżnym (patrz nr 1). Dla porównania serial jest również zbieżny.

2) Niech teraz q > 1. Weźmy taką liczbę , że q -  będzie również większe od jedności. Wtedy dla wystarczająco dużego n, w oparciu o dowód podwójnej nierówności wyprowadzonej w paragrafie 1), będziemy mieli

Stąd N< a N +1 < a N +2 . Следовательно члены ряда rosną wraz ze wzrostem ich liczby, niezbędne kryterium zbieżności nie jest spełnione. Dlatego liczba różni się. Twierdzenie zostało całkowicie udowodnione.

Jeśli q = 1, to nie da się określić charakteru zbieżności szeregu. Na przykład serial zbiega się i szereg różni się.

Naprzemienne rzędy. Test zbieżności Leibniza. Pojęcie szeregu zbieżnego bezwzględnie i warunkowo

Naprzemienne rzędy. Test zbieżności Leibniza. Seria naprzemienna– szereg, w którym dowolne sąsiednie elementy mają przeciwne znaki.

Test zbieżności Leibniza: jeśli wartości bezwzględne wyrazów szeregu naprzemiennego monotonicznie maleją wraz ze wzrostem ich liczby, a n-ty wyraz szeregu z nieograniczonym wzrostem w n dąży do zera, tj.

,

wtedy ten szereg jest zbieżny.

Dowód: weź sumę S 2 m pierwszych wyrazów szeregu i napisz to w następujący sposób:

S 2m = (za 1 – za 2) + (za 3 + za 4) +…+ (za 2m-1 + za 2m).

Ponieważ różnice w nawiasach, oparte na warunku monotoniczności spadku wartości bezwzględnych wyrazów szeregu, są dodatnie, to

Jeśli 2m wzrośnie, to S 2 m nie maleje, ponieważ za każdym razem, gdy dodawane są terminy dodatnie lub równe zero.

Z drugiej strony tę samą kwotę można przedstawić jako:

S 2m = a 1 – (a 2 – a 3) – (a 4 – a 5) -…- (a 2m-2 – a 2m-1) – a 2m.

W nawiasach znajdują się liczby dodatnie, tzw

S 2 m 1.

W konsekwencji S 2 m, będący monotonicznie rosnącym (dokładniej niemalejącym) i ograniczonym ciągiem, ma skończoną granicę S dla m  :

.

Ale to oczywiste

S 2 m +1 = S 2 m + za 2 m +1.

Opierając się na warunku, że n-ty wyraz dąży do zera, również mamy

.

W ten sposób otrzymujemy

Ustaliliśmy, że gdy n rośnie w nieskończoność, sumy cząstkowe S n zmierzają do tej samej granicy S, niezależnie od tego, czy n jest parzyste czy nieparzyste. Dlatego liczba zbiega się.

Pojęcie szeregu zbieżnego bezwzględnie i warunkowo. Nazywa się serię składającą się z członków różnych znaków znak naprzemienny. Nazywa się szereg przemienny absolutnie zbieżny, jeśli zarówno sam szereg, jak i szereg złożony z wartości bezwzględnych jego członków są zbieżne. Seria nazywa się warunkowo zbieżny, jeśli sam szereg jest zbieżny, ale szereg złożony z wartości bezwzględnych jego członków jest rozbieżny.

Twierdzenie: jeśli dla szeregu przemiennego zbiega się szereg złożony z wartości bezwzględnych jego członków , to ten szereg również jest zbieżny.

Dowód: rozważ szereg pomocniczy

Od 1) 0
i 2) rząd
ze względu na zadany warunek zbieżności szeregu również jest zbieżny, to w oparciu o kryterium porównania rozpatrywany szereg pomocniczy również jest zbieżny. Dlatego nasz rząd reprezentuje różnicę dwóch szeregów zbieżnych

=

i dlatego jest zbieżny itp. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Seria potęgowa.

Definicja. Seria potęgowa zwane serią postaci

.

Do badania zbieżności szeregów potęgowych wygodnie jest zastosować test d'Alemberta.

Przykład. Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

Stosujemy znak d'Alemberta:

.

Widzimy, że szereg ten jest zbieżny w punkcie
i różni się w
.

Teraz wyznaczamy zbieżność w punktach granicznych 1 i –1.

Dla x = 1:
szereg jest zbieżny zgodnie z testem Leibniza (patrz test Leibniza).

Przy x = -1:
szereg jest rozbieżny (szereg harmoniczny).

Twierdzenia Abela.

(Nils Henrik Abel (1802 – 1829) – norweski matematyk)

Twierdzenie. Jeżeli szereg potęgowy
zbiega się o godzX = X 1 , wtedy zbiega się, a ponadto dla absolutnie każdego
.

Dowód. Zgodnie z warunkami twierdzenia, ponieważ wyrazy szeregu są zatem ograniczone

Gdzie k- jakaś stała liczba. Prawdziwa jest następująca nierówność:

Z tej nierówności wynika, że ​​kiedy X< X 1 wartości liczbowe wyrazów naszego szeregu będą mniejsze (przynajmniej nie większe) niż odpowiadające im wyrazy szeregu po prawej stronie zapisanej powyżej nierówności, które tworzą postęp geometryczny. Mianownik tej progresji zgodnie z warunkami twierdzenia jest ona mniejsza od jedności, zatem postęp ten jest szeregiem zbieżnym.

Zatem na podstawie kryterium porównania stwierdzamy, że szereg
jest zbieżny, co oznacza szereg
zbiega się absolutnie.

Zatem jeśli szereg potęgowy
zbiega się w jednym punkcie X 1 , to zbiega się absolutnie w dowolnym punkcie przedziału o długości 2 wyśrodkowany w jednym punkcie X = 0.

Konsekwencja. Jeśli o godz x = x 1 szereg jest rozbieżny, to jest rozbieżny dla wszystkich
.

Zatem dla każdego szeregu potęgowego istnieje liczba dodatnia R taka, że ​​dla wszystkich X takie, że
szereg jest absolutnie zbieżny i dla wszystkich
rząd się różni. W tym przypadku wywoływana jest liczba R promień zbieżności. Nazywa się przedział (-R, R). przedział zbieżności.

Należy pamiętać, że ten przedział może być domknięty z jednej lub obu stron, albo może nie być zamknięty.

Promień zbieżności można wyznaczyć korzystając ze wzoru:

Przykład. Znajdź obszar zbieżności szeregu

Znalezienie promienia zbieżności
.

Zatem szereg ten jest zbieżny dla dowolnej wartości X. Wyraz wspólny tego szeregu dąży do zera.

Twierdzenie. Jeżeli szereg potęgowy
zbiega się dla wartości dodatniej x=x 1 , to zbiega się równomiernie w dowolnym przedziale wewnątrz
.

Działania z szeregami potęgowymi.

Szereg nazywa się przemiennym, jeśli jego wyrazy zawierają zarówno dodatni, jak i ujemny.

Szeregi przemienne omówione w poprzednim akapicie są oczywiście szczególnym przypadkiem szeregów przemiennych.

Rozważymy tutaj pewne własności szeregów przemiennych. Ponadto, w przeciwieństwie do porozumienia przyjętego w poprzednim akapicie, założymy teraz, że liczby mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne.

Przede wszystkim podajemy jeden ważny znak wystarczający zbieżności szeregu zmiennych.

Twierdzenie 1. Jeśli seria przemienna

taki, że szereg złożony z wartości bezwzględnych jego członków,

jest zbieżny, to ten szereg przemienny również jest zbieżny.

Dowód. Niech będzie sumą pierwszych wyrazów szeregu (1) i (2).

Pod warunkiem ma granicę i są dodatnio rosnącymi ilościami mniejszymi niż a. W związku z tym mają granice. Z relacji wynika, że ​​i ma granicę i ta granica jest równa , czyli szereg naprzemienny (1) jest zbieżny.

Sprawdzone twierdzenie pozwala ocenić zbieżność niektórych szeregów przemiennych. Badanie zagadnienia zbieżności szeregu przemiennego sprowadza się w tym przypadku do badania szeregu o wyrazach dodatnich.

Spójrzmy na dwa przykłady.

Przykład 1. Zbadaj zbieżność szeregu

gdzie a jest dowolną liczbą.

Rozwiązanie. Oprócz tej serii rozważ serię

Szereg (5) jest zbieżny (patrz § 6). Członkowie szeregu (4) nie są większe niż odpowiadające im człony szeregu (5); zatem szereg (4) również jest zbieżny. Ale wtedy, na mocy sprawdzonego twierdzenia, ten szereg przemienny (3) również jest zbieżny.

Przykład 2. Zbadaj zbieżność szeregu

Rozwiązanie. Oprócz tej serii rozważ serię

Szereg ten jest zbieżny, ponieważ jest malejącym postępem geometrycznym z mianownikiem 1/3. Ale wtedy dany szereg (6) również jest zbieżny, ponieważ wartości bezwzględne jego wyrazów są mniejsze niż odpowiadające im wyrazy szeregu (7).

Należy zauważyć, że udowodniony powyżej znak zbieżności jest jedynie wystarczającym znakiem zbieżności szeregu przemiennego, ale nie jest konieczny: istnieją szeregi przemienne, które same w sobie są zbieżne, ale szeregi złożone z wartości bezwzględnych ich wyrazów są rozbieżne. W związku z tym przydatne jest wprowadzenie koncepcji zbieżności bezwzględnej i warunkowej. szeregi naprzemienne i w oparciu o te pojęcia klasyfikują szeregi naprzemienne.

Definicja. Seria naprzemienna

nazywa się absolutnie zbieżnym, jeśli szereg złożony z wartości bezwzględnych jego wyrazów jest zbieżny:

Jeżeli szereg naprzemienny (1) jest zbieżny, a szereg (2), złożony z wartości bezwzględnych jego członków, jest rozbieżny, wówczas ten szereg naprzemienny (1) nazywany jest szeregiem zbieżnym warunkowo lub nieabsolutnie.

Przykład 3. Szereg naprzemienny jest zbieżny warunkowo, ponieważ szereg złożony z wartości bezwzględnych jego członków jest szeregiem harmonicznym, który jest rozbieżny. Sam szereg jest zbieżny, co można łatwo sprawdzić za pomocą testu Leibniza.

Przykład 4. Szereg przemienny jest szeregiem absolutnie zbieżnym, ponieważ szereg złożony z wartości bezwzględnych jego wyrazów jest zbieżny, jak ustalono w § 4.

Korzystając z koncepcji zbieżności absolutnej, Twierdzenie 1 często formułuje się w następujący sposób: każdy szereg absolutnie zbieżny jest szeregiem zbieżnym.

Podsumowując, zauważamy (bez dowodu) następujące właściwości szeregów absolutnie zbieżnych i warunkowo zbieżnych.

Twierdzenie 2. Jeśli szereg jest absolutnie zbieżny, to pozostaje absolutnie zbieżny dla dowolnej permutacji jego wyrazów. Co więcej, suma szeregu nie zależy od kolejności jego wyrazów.

Własność ta nie dotyczy szeregów warunkowo zbieżnych. Twierdzenie 3. Jeśli szereg jest zbieżny warunkowo, to niezależnie od tego, jaką liczbę A określimy, możemy zmienić wyrazy tego szeregu tak, aby jego suma była dokładnie równa A. Ponadto możemy zmienić wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego tak, że otrzymany szereg po przegrupowaniu okazał się rozbieżny.

Dowód tych twierdzeń wykracza poza zakres tego kursu. Można go znaleźć w bardziej szczegółowych podręcznikach (patrz np. Fnkhtengolts G.M. Kurs rachunku różniczkowego i całkowego, t. II. - M.: Fizmatgiz, 1962, s. 319-320).

Szereg liczbowy, którego elementy mają dowolne znaki (+), (?), nazywany jest szeregiem przemiennym. Omówione powyżej szeregi przemienne są szczególnym przypadkiem szeregów przemiennych; Jest oczywiste, że nie każdy szereg naprzemienny jest naprzemienny. Na przykład rząd? naprzemiennie, ale nie naprzemiennie.

Zauważ, że w szeregu naprzemiennym istnieje nieskończenie wiele wyrazów ze znakiem (+) i znakiem (?). Jeśli nie jest to prawdą, np. szereg zawiera skończoną liczbę wyrazów ujemnych, to można je odrzucić i rozpatrywać szereg złożony wyłącznie z wyrazów dodatnich i odwrotnie.

Definicja 1. Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny i jego suma jest równa S, a suma częściowa jest równa S n, to nazywa się ją resztą szeregu i tj. reszta szeregu zbieżnego dąży do 0.

Rozważmy zbieżny szereg przemienny jako szczególny przypadek szeregu przemiennego

Gdzie. Zapiszmy to w formie, a następnie według kryterium Leibniza; od tego czasu, tj. reszta szeregu zbieżnego dąży do 0.

Dla szeregów przemiennych wprowadza się pojęcia zbieżności bezwzględnej i warunkowej.

Definicja 2. Mówi się, że szereg jest absolutnie zbieżny, jeśli szereg złożony z wartości bezwzględnych jego członków jest zbieżny.

Definicja 3. Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny, a szereg złożony z wartości bezwzględnych jego członków jest rozbieżny, wówczas szereg pierwotny nazywa się zbieżnym warunkowo (nieabsolutnie).

Twierdzenie 2 (wystarczające kryterium zbieżności szeregów przemiennych). Szereg naprzemienny jest zbieżny i absolutnie, jeśli szereg złożony z wartości bezwzględnych jego wyrazów jest zbieżny.

Dowód. Oznaczmy przez sumę częściową szeregu: , i przez? suma częściowa szeregu: . Oznaczmy przez sumę wszystkich terminów dodatnich i przez sumę wartości bezwzględnych wszystkich zawartych w wyrazach ujemnych. Oczywiście.

Zgodnie z warunkami twierdzenia szereg jest zbieżny, to istnieje, a ciąg także? zatem monotonicznie rosnący i nieujemny. Oczywiście wtedy ciągi i są monotonicznie rosnące i ograniczone, a ich granice są równe i. Następnie. Oznacza to, że pierwotny szereg przemienny jest zbieżny i zbieżny absolutnie. Twierdzenie zostało udowodnione.

Komentarz. Twierdzenie 2 dostarcza jedynie warunku wystarczającego zbieżności szeregów przemiennych. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, tj. jeżeli szereg naprzemienny jest zbieżny, to nie jest konieczne, aby szereg złożony z modułów był zbieżny (może być zbieżny lub rozbieżny). Na przykład szereg jest zbieżny zgodnie z kryterium Leibniza (patrz przykład 1 tego wykładu), ale szereg złożony z wartości bezwzględnych jego członków (szereg harmoniczny) jest rozbieżny.

Przykład 2. Zbadaj szereg pod kątem zbieżności warunkowej i absolutnej.

Rozwiązanie. Szereg ten jest naprzemienny, którego ogólny wyraz będzie oznaczony przez: . Zróbmy szereg wartości bezwzględnych i zastosujmy do niego test d'Alemberta. Stwórzmy granicę gdzie, . Po przeprowadzeniu przekształceń otrzymujemy: Zatem szereg jest zbieżny, co oznacza, że ​​pierwotny szereg przemienny jest zbieżny absolutnie. Odpowiedź: szereg jest absolutnie zbieżny.

Przykład 3. Zbadaj szereg pod kątem zbieżności bezwzględnej i warunkowej.

Rozwiązanie. A) Sprawdzamy szereg pod kątem zbieżności absolutnej. Wyznaczmy i skompilujmy szereg wartości bezwzględnych. Otrzymujemy szereg z wyrazami dodatnimi, do którego stosujemy test graniczny do porównywania szeregów (Twierdzenie 2, Wykład 2, Rozdział 2.2). Aby porównać z serią, rozważmy serię mającą postać. Szereg ten jest szeregiem Dirichleta z wykładnikiem, tj. on się różni. Skomponujmy i obliczmy następujący limit. Ponieważ granica istnieje, nie jest równa 0 i nie jest równa ?, to oba szeregi zachowują się tak samo. Zatem szereg jest rozbieżny, co oznacza, że ​​szereg pierwotny nie jest bezwzględnie zbieżny.

B) Następnie sprawdzamy pierwotny szereg pod kątem zbieżności warunkowej. W tym celu sprawdzimy spełnienie warunków testu Leibniza (Twierdzenie 1, podrozdział 3.1). Warunek 1): , gdzie, tj. ten szereg jest naprzemienny. Aby sprawdzić warunek 2) dotyczący monotonicznego zmniejszania wyrazów szeregu, stosujemy następującą metodę. Rozważmy funkcję pomocniczą zdefiniowaną w (funkcja jest taka, że ​​w mamy). Aby zbadać tę funkcję pod kątem monotoniczności, znajdźmy jej pochodną: . Ta pochodna przy. W konsekwencji funkcja maleje monotonicznie dla określonych wartości x. Zakładając, że dotrzemy gdzie. Oznacza to, że warunek 2) jest spełniony. Aby sprawdzić warunek 3) znajdujemy granicę wspólnego terminu: , tj. spełniony jest trzeci warunek. Zatem dla szeregu pierwotnego spełnione są wszystkie warunki testu Leibniza, tj. to się zbiega.

Odpowiedź: szereg jest zbieżny warunkowo.

Własności szeregów zbieżnych bezwzględnie i warunkowo

Własność 1. Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnej permutacji jego wyrazów, a suma szeregu nie zależy od kolejności wyrazów. Jeśli? suma wszystkich jego dodatnich wyrazów, prawda? suma wszystkich wartości bezwzględnych wyrazów ujemnych, wówczas suma szeregu jest równa.

Właściwość 2. Jeśli szereg jest absolutnie zbieżny, to szereg jest również bezwzględnie zbieżny.

Właściwość 3. Jeśli szeregi są absolutnie zbieżne, to są one również bezwzględnie zbieżne.

Właściwość 4 (twierdzenie Riemanna). Jeżeli szereg jest zbieżny warunkowo, to niezależnie od tego, jaką liczbę A wybierzemy, możemy zmienić wyrazy tego szeregu tak, aby jego suma okazała się dokładnie równa A; Co więcej, możliwe jest przestawienie wyrazów szeregu warunkowo zbieżnego, tak aby po tym był on rozbieżny.

Dział ten swój niezwykły wygląd zawdzięcza wielu, wielu autorom, czytając których dzieła chciałem te dzieła przybliżyć samym pisarzom. Właściwie planowałem opublikować ten temat w całości dopiero, gdy będzie już gotowy, jednak ze względu na zbyt dużą liczbę pytań w tej kwestii, kilka punktów przedstawię teraz. Następnie materiał będzie uzupełniany i poszerzany. Zacznijmy od definicji.

Szereg postaci $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$, gdzie $u_n>0$, nazywany jest przemiennym.

Znaki członków serii naprzemiennej są ściśle naprzemienne:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+u_5-u_6+u_7-u_8+\ldots $$

Na przykład $1-\frac(1)(2)+\frac(1)(3)-\frac(1)(4)+\ldots$ jest serią przemienną. Zdarza się, że ścisła przemiana znaków nie zaczyna się od pierwszego elementu, ale nie ma to znaczenia dla badań zbieżności.

Dlaczego naprzemienne znaki, które nie zaczynają się od pierwszego elementu, są nieistotne? pokaż\ukryj

Faktem jest, że wśród właściwości szeregów liczbowych znajduje się stwierdzenie, które pozwala nam odrzucić „dodatkowe” elementy szeregu. To jest nieruchomość:

Szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy którakolwiek z jego reszt $r_n=\sum\limits_(k=n+1)^(\infty)u_k jest zbieżny $ . Wynika z tego, że odrzucenie lub dodanie skończonej liczby wyrazów do pewnego szeregu nie zmienia zbieżności szeregu.

Dajmy sobie pewien szereg przemienny $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ i niech pierwszy warunek testu Leibniza będzie spełniony dla tego szeregu , tj. $\lim_(n\to(\infty))u_n=0$. Natomiast drugi warunek, tj. $u_n≥u_(n+1)$, jest wykonywane począwszy od określonej liczby $n_0\in(N)$. Jeśli $n_0=1$, to otrzymujemy zwykłe sformułowanie drugiego warunku kryterium Leibniza, a zatem szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1) u_n$ zbiegnie się. Jeżeli $n_0>1$, to szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ dzielimy na dwie części. W pierwszej części wybieramy wszystkie te elementy, których liczby są mniejsze niż $n_0$:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n=\sum\limits_(n=1)^(n_0-1)(-1)^(n +1)u_n+\suma\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n $$

Dla szeregu $\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ oba warunki kryterium Leibniza są spełnione, zatem szereg $\sum\limits_(n= n_0)^(\ infty)(-1)^(n+1)u_n$ jest zbieżny. Ponieważ reszta jest zbieżna, pierwotny szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ również będzie zbieżny.

Nie ma więc żadnego znaczenia, czy spełniony będzie drugi warunek testu Leibniza, zaczynając od pierwszego, czy od tysięcznego elementu – szereg i tak będzie zbieżny.

Zauważmy, że kryterium Leibniza jest warunkiem wystarczającym, ale nie koniecznym zbieżności szeregów przemiennych. Inaczej mówiąc, spełnienie warunków kryterium Leibniza gwarantuje zbieżność szeregu, natomiast niespełnienie tych warunków nie gwarantuje ani zbieżności, ani rozbieżności. Oczywiście niespełnienie pierwszego warunku, tj. przypadek $\lim_(n\to(\infty))u_n\neq(0)$, oznacza rozbieżność szeregu $\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+ 1)u_n $, przy czym niespełnienie drugiego warunku może nastąpić zarówno w przypadku szeregów zbieżnych, jak i rozbieżnych.

Ponieważ w standardowych obliczeniach często spotyka się naprzemienne serie znaków, opracowałem schemat, za pomocą którego można zbadać zbieżność standardowych naprzemiennych serii znaków.

Można oczywiście bezpośrednio zastosować test Leibniza, pomijając sprawdzanie zbieżności szeregu modułów. Jednak w przypadku standardowych przykładów edukacyjnych konieczne jest sprawdzenie serii modułów, ponieważ większość autorów standardowych obliczeń wymaga nie tylko sprawdzenia, czy szereg jest zbieżny, czy nie, ale także określenia charakteru zbieżności (warunkowego lub bezwzględnego). Przejdźmy do przykładów.

Przykład nr 1

Zbadaj szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ pod kątem zbieżności.

Najpierw dowiedzmy się, czy ten szereg jest naprawdę naprzemienny. Ponieważ $n≥1$, to $4n-1≥3>0$ i $n^2+3n≥4>0$, tj. dla wszystkich $n\in(N)$ mamy $\frac(4n-1)(n^2+3n)>0$. Zatem dany szereg ma postać $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$, gdzie $u_n=\frac(4n-1)(n^ 2 +3n)>0$, tj. Rozważany szereg jest naprzemienny.

Zwykle taką kontrolę przeprowadza się ustnie, ale zdecydowanie niepożądane jest jej pominięcie: błędy w standardowych obliczeniach nie są rzadkością. Często zdarza się, że znaki członków danej serii zaczynają się zmieniać nie od pierwszego członka serii. W takim przypadku możesz odrzucić „przeszkadzające” wyrazy szeregu i zbadać zbieżność reszty (patrz uwaga na początku tej strony).

Mamy więc szereg o zmiennym znaku. Będziemy postępować zgodnie z powyższym. Na początek utwórzmy serię modułów członków tej serii:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)\right| =\suma\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n^2+3n) $$

Sprawdźmy, czy skompilowany ciąg modułów jest zbieżny. Zastosujmy kryterium porównania. Ponieważ dla wszystkich $n\in(N)$ mamy $4n-1=3n+n-1≥3n$ i $n^2+3n≤n^2+3n^2=4n^2$, to:

$$ \frac(4n-1)(n^2+3n)≥ \frac(3n)(4n^2)=\frac(3)(4)\cdot\frac(1)(n) $$

Szereg harmoniczny $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ jest rozbieżny, więc szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left będzie również się różnią (\frac(3)(4)\cdot\frac(1)(n)\right)$. Zatem zgodnie z kryterium porównania szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ jest rozbieżny. Oznaczmy $u_n=\frac(4n-1)(n^2+3n)$ i sprawdźmy, czy dla pierwotnego szeregu przemiennego spełnione są warunki testu Leibniza. Znajdźmy $\lim_(n\to(\infty))u_n$:

$$ \lim_(n\to(\infty))u_n =\lim_(n\to(\infty))\frac(4n-1)(n^2+3n) =\lim_(n\to(\infty ))\frac(\frac(4)(n)-\frac(1)(n^2))(1+\frac(3)(n)) =0. $$

Pierwszy warunek testu Leibniza jest spełniony. Teraz musimy sprawdzić, czy zachodzi nierówność $u_n≥u_(n+1)$. Znaczna część autorów woli zapisać kilka pierwszych wyrazów szeregu, a następnie dojść do wniosku, że nierówność $u_n≥u_(n+1)$ jest spełniona.

Innymi słowy, ten „dowód” dla tego szeregu wyglądałby następująco: $\frac(2)(3)≤\frac(5)(8)≤\frac(8)(15)≤\ldots$. Po porównaniu kilku pierwszych wyrazów wyciąga się wniosek: dla pozostałych wyrazów nierówność pozostanie, każdy kolejny będzie nie większy od poprzedniego. Nie wiem, skąd wzięła się ta „metoda dowodu”, ale jest błędna. Na przykład dla ciągu $v_n=\frac(10^n)(n$ получим такие первые члены: $v_1=10$, $v_2=50$, $v_3=\frac{500}{3}$, $v_4=\frac{1250}{3}$. Как видите, они возрастают, т.е., если ограничиться сравнением нескольких первых членов, то можно сделать вывод, что $v_{n+1}>v_n$ для всех $n\in{N}$. Однако такой вывод будет категорически неверным, так как начиная с $n=10$ элементы последовательности будут убывать.!}

Jak udowodnić nierówność $u_n≥u_(n+1)$? Ogólnie rzecz biorąc, można to zrobić na kilka sposobów. Najprościej w naszym przypadku jest rozpatrzenie różnicy $u_n-u_(n+1)$ i znalezienie jej znaku. W następnym przykładzie rozważymy inną metodę: udowadniając spadek odpowiedniej funkcji.

$$ u_n-u_(n+1) =\frac(4n-1)(n^2+3n)-\frac(4(n+1)-1)((n+1)^2+3(n +1)) =\frac(4n-1)(n^2+3n)-\frac(4n+3)(n^2+5n+4)=\\ =\frac((4n-1)\cdot \left(n^2+5n+4\right)-\left(n^2+3n\right)\cdot(4n+3))(\left(n^2+3n\right)\cdot\left( n^2+5n+4\prawo)) =\frac(4n^2+2n-4)(\lewo(n^2+3n\prawo)\cdot\lewo(n^2+5n+4\prawo) ). $$

Ponieważ $n≥1$, to $4n^2-4≥0$, skąd mamy $4n^2+2n-4>0$, tj. $u_n-u_(n+1)>0$, $u_n>u_(n+1)$. Zdarza się oczywiście, że nierówność $u_n≥u_(n+1)$ nie jest spełniona od pierwszego wyrazu szeregu, ale nie jest to istotne (patrz początek strony).

Zatem oba warunki kryterium Leibniza są spełnione. Ponieważ w tym przypadku szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)\right |. $ jest rozbieżny, to szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ jest zbieżny warunkowo.

Odpowiedź: szereg jest zbieżny warunkowo.

Przykład nr 2

Zbadaj szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ pod kątem zbieżności.

Najpierw rozważmy wyrażenie $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$. Warto zrobić małe sprawdzenie, czy stan jest prawidłowy. Faktem jest, że bardzo często w warunkach standardowych obliczeń można spotkać się z błędami, gdy wyrażenie pierwiastkowe jest ujemne lub w mianowniku dla niektórych wartości $n$ pojawia się zero.

Aby uniknąć takich problemów, wykonajmy proste badanie wstępne. Ponieważ dla $n≥1$ mamy $2n^3≥2$, to $2n^3-1≥1$, tj. wyrażenie pod pierwiastkiem nie może być ujemne ani równe zero. Zatem warunek jest całkiem poprawny. Wyrażenie $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ jest zdefiniowane dla wszystkich $n≥1$.

Dodam, że dla $n≥1$ prawdziwa jest nierówność $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))>0$, czyli: Dany jest szereg o zmiennym znaku. Zbadamy to zgodnie z powyższym. Na początek utwórzmy serię modułów członków tej serii:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))\right| =\suma\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)) $$

Sprawdźmy, czy szereg złożony z modułów danego szeregu jest zbieżny. Zastosujmy kryterium porównania. Rozwiązując poprzedni przykład, wykorzystaliśmy pierwsze kryterium porównania. Tutaj, wyłącznie dla urozmaicenia, stosujemy drugi znak porównania (znak porównania w formie ograniczającej). Porównajmy szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ z szeregiem rozbieżnym $\sum\limits_(n =1)^ (\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)))(\frac(1)(\sqrt(n))) =\lim_ (n\to\infty)\frac(5n\sqrt(n)-4\sqrt(n))(\sqrt(2n^3-1)) =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac (5n\sqrt(n))(n\sqrt(n))-\frac(4\sqrt(n))(n\sqrt(n)))(\sqrt(\frac(2n^3-1)( n^3))) \lim_(n\to\infty)\frac(5-\frac(4)(n))(\sqrt(2-\frac(1)(n^3))) =\frac (5)(\sqrt(2)). $$

Ponieważ $\frac(5)(\sqrt(2))\neq(0)$ i $\frac(5)(\sqrt(2))\neq\infty$, to jednocześnie z szeregiem $\sum\limits_ (n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ będzie rozbieżny i szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4) ( \sqrt(2n^3-1))$.

Zatem dany szereg przemienny nie ma zbieżności absolutnej. Oznaczmy $u_n=\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ i sprawdźmy, czy spełnione są warunki testu Leibniza. Znajdźmy $\lim_(n\to(\infty))u_n$:

$$ \lim_(n\to(\infty))u_n =\lim_(n\to(\infty))\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)) =\lim_(n\ to(\infty))\frac(\frac(5n)(n^(\frac(3)(2)))-\frac(4)(n^(\frac(3)(2))))( \sqrt(\frac(2n^3-1)(n^3))) =\lim_(n\to(\infty))\frac(\frac(5)(\sqrt(n))-\frac( 4)(n^(\frac(3)(2))))(\sqrt(2-\frac(1)(n^3))) =0. $$

Pierwszy warunek testu Leibniza jest spełniony. Teraz musimy sprawdzić, czy zachodzi nierówność $u_n≥u_(n+1)$. W poprzednim przykładzie przyjrzeliśmy się jednemu ze sposobów udowodnienia tej nierówności: poprzez znalezienie znaku różnicy $u_n-u_(n+1)$. Tym razem zastosujmy inną metodę: zamiast $u_n=\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ rozważmy funkcję $y(x)=\frac(5x-4)( \sqrt(2x^3-1))$ podano $x≥1$. Zauważam, że zachowanie tej funkcji pod warunkiem $x<1$ нам совершенно безразлично.

Naszym celem jest udowodnienie, że funkcja $y(x)$ jest nierosnąca (lub malejąca). Jeśli udowodnimy, że funkcja $y(x)$ jest nierosnąca, to dla wszystkich wartości $x_2>x_1$ będziemy mieli $y(x_1)≥y(x_2)$. Zakładając, że $x_1=n$ i $x_2=n+1$, otrzymujemy, że z nierówności $n+1>n$ wynika prawdziwość nierówności $y(n)≥y(n+1)$. Ponieważ $y(n)=u_n$, to nierówność $y(n)≥y(n+1)$ jest taka sama jak $u_(n)≥u_(n+1)$.

Jeśli pokażemy, że $y(x)$ jest funkcją malejącą, to nierówność $n+1>n$ doprowadzi do prawdziwości nierówności $y(n)>y(n+1)$, tj. $u_(n)>u_(n+1)$.

Znajdźmy pochodną $y”(x)$ i znajdźmy jej znak dla odpowiednich wartości $x$.

$$ y"(x)=\frac((5x-4)"\cdot\sqrt(2x^3-1)-(5x-4)\cdot\left(\sqrt(2x^3-1)\right )")(\left(\sqrt(2x^3-1)\right)^2) =\frac(5\cdot\sqrt(2x^3-1)-(5x-4)\cdot\frac(1 )(2\sqrt(2x^3-1))\cdot(6x^2))(2x^3-1)=\\ =\frac(5\cdot\left(2x^3-1\right)- (5x-4)\cdot(3x^2))(\left(2x^3-1\right)^(\frac(3)(2))) =\frac(-5x^3+12x^2- 5)(\lewo(2x^3-1\prawo)^(\frac(3)(2))) $$

Myślę, że jest oczywiste, że dla wystarczająco dużych wartości dodatnich $x≥1$ wielomian w mianowniku będzie mniejszy od zera, tj. $-5x^3+12x^2-5<0$. Эту "очевидность" несложно обосновать формально - если вспомнить курс алгебры. Дело в том, что согласно лемме о модуле старшего члена, при достаточно больших значениях $|x|$ знак многочлена совпадает с знаком его старшего члена. Адаптируясь к нашей задаче получаем, что существует такое число $c≥1$, то для всех $x≥c$ будет верным неравенство $-5x^3+12x^2-5<0$. В принципе, существования такого числа $c$ уже вполне достаточно для дальнейшего решения задачи.

Podejdźmy jednak do sprawy mniej formalnie. Aby nie ciągnąć za sobą niepotrzebnych lematów z algebry, po prostu w przybliżeniu oszacujemy wartość wyrażenia $-5x^3+12x^2-5$. Weźmy pod uwagę $-5x^3+12x^2-5=x^2(-5x+12)-5$. Dla $x≥3$ mamy -5x+12 $<0$, посему $x^2(-5x+12)-5<0$.

Zatem dla $x≥3$ mamy $y"(x)<0$, т.е. функция $y(x)$ убывает. А это, в свою очередь, означает, что при $n≥3$ верно неравенство $u_n>u_(n+1)$, tj. drugi warunek testu Leibniza jest spełniony. Oczywiście, spełnienie drugiego warunku pokazaliśmy nie dla $n=1$, ale dla $n=3$, ale to nie ma znaczenia (patrz początek strony).

Zatem oba warunki kryterium Leibniza są spełnione. Ponieważ w tym przypadku szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1 ) )\right|$ jest rozbieżny, to szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n) $ zbiega się warunkowo.

Odpowiedź: szereg jest zbieżny warunkowo.

Przykład nr 3

Zbadaj szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(3n+4)(2^n)$ pod kątem zbieżności.

Przykład ten nie jest zbyt ciekawy, więc napiszę go krótko. Otrzymujemy naprzemienną serię, którą ponownie zbadamy za pomocą . Skomponujmy serię modułów członków tej serii:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(3n+4)(2^n)\right| =\suma\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n+4)(2^n) $$

Zastosujmy znak D'Alemberta. Oznaczając $u_n=\frac(3n+4)(2^n)$, otrzymamy $u_(n+1)=\frac(3n+7)(2^(n+1) )$.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_(n)) =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+7)(2^ (n+1)))(\frac(3n+4)(2^n)) =\frac(1)(2)\lim_(n\to\infty)\frac(3n+7)(3n+4 ) =\frac(1)(2)\lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(7)(n))(3+\frac(4)(n)) =\frac(1 )(2)\cdot(1)=\frac(1)(2). $$

Ponieważ $\frac(1)(2)<1$, то согласно признаку Д"Аламбера ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится. Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}\right|$, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится, причём сходится абсолютно.

Zaznaczam, że do rozwiązania podanego przykładu nie był nam potrzebny test Leibniza. Dlatego wygodnie jest najpierw sprawdzić zbieżność szeregu modułów, a następnie, jeśli to konieczne, zbadać zbieżność pierwotnego szeregu przemiennego.

Odpowiedź: szereg jest zbieżny bezwzględnie.

Szeregi naprzemienne to szeregi, których wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne. . Najczęściej rozważane są serie naprzemienne, w których terminy występują naprzemiennie jeden po drugim: po każdym pozytywu następuje negatyw, a po każdym negatywie następuje pozytyw. Istnieją jednak naprzemienne rzędy, w których członkowie przechodzą przez dwa, trzy i tak dalej.

Rozważmy przykład serii naprzemiennej, której początek wygląda następująco:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

i od razu ogólne zasady rejestrowania naprzemiennych rzędów.

Jak w przypadku każdego szeregu, aby kontynuować dany szereg, należy podać funkcję wyznaczającą wyraz wspólny szeregu. W naszym przypadku tak N + 2 .

Jak ustawić naprzemienność znaków członków serii? Mnożenie funkcji przez minus jeden do pewnego stopnia. W jakim stopniu? Od razu podkreślmy, że nie każdy stopień zapewnia naprzemienność znaków dla wyrazów szeregu.

Powiedzmy, że chcemy, aby pierwszy wyraz szeregu naprzemiennego miał znak dodatni, jak ma to miejsce w powyższym przykładzie. Zatem minus jeden musi być do potęgi N- 1 . Zacznij podstawiać liczby zaczynając od jednego do tego wyrażenia, a otrzymasz jako wykładnik minus jeden, liczby parzystej lub nieparzystej. Jest to warunek konieczny dla znaków naprzemiennych! Ten sam wynik otrzymamy, gdy N+ 1 . Jeśli chcemy, aby pierwszy wyraz szeregu naprzemiennego miał znak ujemny, możemy zdefiniować ten szereg, mnożąc funkcję wspólnego wyrazu przez jeden do potęgi N. Otrzymujemy liczbę parzystą, nieparzystą i tak dalej. Jak widać, opisany już warunek dla znaków przemiennych jest spełniony.

Zatem możemy zapisać powyższy szereg naprzemienny w ogólnej formie:

Aby zmienić znaki członka szeregu, moc minus jeden może być sumą N oraz dowolna liczba dodatnia lub ujemna, parzysta lub nieparzysta. To samo dotyczy 3 N , 5N, ... Oznacza to, że naprzemienne znaki członków szeregu naprzemiennego zapewniają stopień minus jeden w postaci sumy N, pomnożone przez dowolną liczbę nieparzystą i dowolną liczbę.

Jakie potęgi przy minus jeden nie zapewniają naprzemienności znaków wyrazów szeregu? Te, które są obecne w formie N, pomnożone przez dowolną liczbę parzystą, do której dodano dowolną liczbę, w tym zero, parzystą lub nieparzystą. Przykładowe wskaźniki takich stopni: 2 N , 2N + 1 , 2N − 1 , 2N + 3 , 4N+ 3 ... W przypadku takich potęg, w zależności od tego, do której liczby „en” dodamy i pomnożymy przez liczbę parzystą, otrzymamy albo tylko liczby parzyste, albo tylko nieparzyste, co, jak już się przekonaliśmy, nie podaj zmienność znaków wyrazów szeregu.

Szereg naprzemienny - przypadek szczególny serie naprzemienne . Szeregi naprzemienne to serie zawierające wyrazy o dowolnych znakach , czyli te, które mogą być dodatnie i ujemne w dowolnej kolejności. Przykład szeregu naprzemiennego:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

Następnie rozważamy oznaki zbieżności szeregów przemiennych i przemiennych. Warunkową zbieżność naprzemiennych szeregów znaków można wyznaczyć za pomocą testu Leibniza. Natomiast dla szerszego zakresu szeregów - szeregów przemiennych (w tym szeregów przemiennych) - obowiązuje kryterium zbieżności absolutnej.

Zbieżność naprzemiennych ciągów znaków. Próba Leibniza

Dla szeregów znaków przemiennych obowiązuje następujące kryterium zbieżności – kryterium Leibniza.

Twierdzenie (test Leibniza). Szereg jest zbieżny, a jego suma nie przekracza pierwszego wyrazu, jeżeli jednocześnie spełnione są dwa warunki:

• wartości bezwzględne wyrazów szeregu przemiennego maleją: ty1 > ty 2 > ty 3 > ... > ty n>...;
• limit jej wspólnego terminu z nieograniczonym wzrostem N równy zeru.

Konsekwencja. Jeśli przyjmiemy sumę szeregu naprzemiennego jako sumę jego N terminach, wówczas dopuszczalny błąd nie przekroczy wartości bezwzględnej pierwszego odrzuconego składnika.

Przykład 1. Zbadaj zbieżność szeregu

Rozwiązanie. Jest to seria naprzemienna. Wartości bezwzględne jego członków maleją:

i granica wspólnego terminu

równe zeru:

Obydwa warunki testu Leibniza są spełnione, zatem szereg jest zbieżny.

Przykład 2. Zbadaj zbieżność szeregu

Rozwiązanie. Jest to seria naprzemienna. Najpierw udowodnimy, że:

, .

Jeśli N= 1, to dla wszystkich N > N zachodzi nierówność 12 N − 7 > N. Z kolei dla każdego N. Oznacza to, że wyrazy szeregu zmniejszają się w wartości bezwzględnej. Znajdźmy granicę ogólnego wyrazu szeregu (za pomocą Reguła de l'Hopitala):

Granica wspólnego terminu wynosi zero. Obydwa warunki testu Leibniza są spełnione, więc odpowiedź na pytanie o zbieżność jest pozytywna.

Przykład 3. Zbadaj zbieżność szeregu

Rozwiązanie. Biorąc pod uwagę szereg naprzemienny. Przekonajmy się, czy spełniony jest pierwszy warunek kryterium Leibniza, czyli wymóg. Aby wymóg został spełniony, jest to konieczne

Zadbaliśmy o to, aby wymóg został spełniony dla wszystkich N > 0 . Pierwsze kryterium Leibniza jest spełnione. Znajdźmy granicę ogólnego wyrazu szeregu:

.

Limit nie jest zerowy. Zatem drugi warunek kryterium Leibniza nie jest spełniony, zatem o zbieżności nie można mówić.

Przykład 4. Zbadaj zbieżność szeregu

Rozwiązanie. W tym szeregu po dwóch wyrazach ujemnych następują dwa dodatnie. Ta seria jest również naprzemienna. Sprawdźmy, czy spełniony jest pierwszy warunek testu Leibniza.

Wymóg jest spełniony dla wszystkich N > 1 . Pierwsze kryterium Leibniza jest spełnione. Przekonajmy się, czy granica wyrazu ogólnego jest równa zeru (stosując regułę L'Hopitala):

.

Mamy zero. Zatem oba warunki kryterium Leibniza są spełnione. Konwergencja ma miejsce.

Przykład 5. Zbadaj zbieżność szeregu

Rozwiązanie. Jest to seria naprzemienna. Sprawdźmy, czy spełniony jest pierwszy warunek testu Leibniza. Ponieważ

,

Ponieważ N ≥ 0 , następnie 3 N+ 2 > 0 . Z kolei dla każdego N, Dlatego. W konsekwencji wyrazy szeregu maleją w wartości bezwzględnej. Pierwsze kryterium Leibniza jest spełnione. Przekonajmy się, czy granica wyrazu ogólnego szeregu jest równa zeru (stosując regułę L'Hopitala):

.

Otrzymaliśmy wartość zerową. Obydwa warunki testu Leibniza są spełnione, zatem szereg ten jest zbieżny.

Przykład 6. Zbadaj zbieżność szeregu

Rozwiązanie. Sprawdźmy, czy dla tego szeregu przemiennego spełniony jest pierwszy warunek testu Leibniza:

Wyrazy szeregu maleją w wartości bezwzględnej. Pierwsze kryterium Leibniza jest spełnione. Dowiedzmy się, czy granica wspólnego terminu jest równa zeru:

.

Granica wspólnego terminu nie wynosi zero. Drugi warunek kryterium Leibniza nie jest spełniony. Dlatego ten szereg jest rozbieżny.

Próba Leibniza jest znakiem warunkowa zbieżność szeregu. Oznacza to, że wnioski dotyczące zbieżności i rozbieżności rozważanych powyżej szeregów przemiennych można uzupełnić: szeregi te zbiegają się (lub rozchodzą) warunkowo.

Zbieżność absolutna szeregów przemiennych

Niech rząd

– znak naprzemienny. Rozważmy szereg złożony z wartości bezwzględnych jego członków:

Definicja. Mówi się, że szereg jest absolutnie zbieżny, jeśli szereg złożony z wartości bezwzględnych jego członków jest zbieżny. Jeśli szereg naprzemienny jest zbieżny, a szereg złożony z wartości bezwzględnych jego członków jest rozbieżny, wówczas taki szereg naprzemienny nazywa się zbieżny warunkowo lub nieabsolutnie .

Twierdzenie. Jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny warunkowo.

Przykład 7. Określ, czy szereg jest zbieżny

Rozwiązanie. Temu szeregowi obok wyrazów dodatnich odpowiada szereg To uogólniony szereg harmoniczny, w którym , zatem szereg jest rozbieżny. Sprawdźmy, czy spełnione są warunki testu Leibniza.

Zapiszmy wartości bezwzględne pierwszych pięciu wyrazów serii:

.

Jak widać wyrazy szeregu maleją w wartości bezwzględnej. Pierwsze kryterium Leibniza jest spełnione. Dowiedzmy się, czy granica wspólnego terminu jest równa zeru:

Otrzymaliśmy wartość zerową. Obydwa warunki kryterium Leibniza są spełnione. Oznacza to, że według kryterium Leibniza następuje zbieżność. A odpowiedni szereg z wyrazami dodatnimi jest rozbieżny. Zatem szereg ten jest zbieżny warunkowo.

Przykład 8. Określ, czy szereg jest zbieżny

absolutnie, warunkowo lub rozbieżnie.

Rozwiązanie. Temu szeregowi obok wyrazów dodatnich odpowiada szereg. Jest to uogólniony szereg harmoniczny, w którym zatem szereg jest rozbieżny. Sprawdźmy, czy spełnione są warunki testu Leibniza.