Aplikacja paska Mobiusa. Co jest takiego niezwykłego w wstędze Mobiusa? Wstęga Mobiusa – szerokie pole inspiracji

Wstęga Möbiusa (pętla Möbiusa, wstęga Möbiusa)- figura pozornie prosta, ale matematyk powiedziałby, że jest to dwuwymiarowa powierzchnia o niesamowitych właściwościach: ma tylko jeden bok i jedną krawędź, w przeciwieństwie do zwykłego pierścienia, który można zwinąć z tego samego paska co Möbius pasek, ale będzie miał dwa boki i dwie krawędzie. Możesz to łatwo sprawdzić, rysując linię na środku taśmy, nie odrywając ołówka od papieru, aż wrócisz do punktu wyjścia. Zaskakujące, ale prawdziwe: w wyniku półobrotu paska jego górna i dolna krawędź połączyły się w jedną ciągłą linię, a obie strony zamieniły się w jedną całość i stały się jednym bokiem. A oto wynik: można przedostać się z jednego punktu wstęgi Mobiusa do dowolnego innego bez przekraczania krawędzi.

Działa na pasku Mobiusa

Dla zewnętrznego obserwatora podróż wstęgą Mobiusa to „bieganie w kółko”, pełne niespodzianek. Wyraźnie przedstawił to holenderski grafik Maurits Escher (1898-1972). Na obrazie „Wstęga Mobiusa II” mrówki biegają. Śledząc ich ruchy, możesz to zrobić ciekawe odkrycie. Po wykonaniu jednego obrotu wzdłuż taśmy każda mrówka znajdzie się w punkcie wyjścia, ale już w pozycji antypody - wizualnie będzie „po drugiej stronie” taśmy do góry nogami. Co dzieje się z dwuwymiarowym stworzeniem poruszającym się po wstędze Mobiusa? Po ominięciu powierzchni zamieni się w swoją lustrzane odbicie(łatwo to sobie wyobrazić, jeśli weźmie się pod uwagę, że taśma jest przezroczysta). Aby stać się sobą, dwuwymiarowa istota będzie musiała stworzyć jeszcze jeden okrąg. Zatem mrówka musi dwukrotnie przejść wstęgą Möbiusa, aby powrócić do pozycji wyjściowej.

Ciekawość naukowa lub przydatne odkrycie

Wstęga Möbiusa często nazywana jest ciekawostką matematyczną. A samo jego pojawienie się przypisuje się przypadkowi. Według legendy wstążkę wynalazł niemiecki naukowiec, gdy zobaczył u pokojówki źle zawiązaną. szalik. Był znanym matematykiem i astronomem, uczniem Carla Friedricha Gaussa. Jednostronną powierzchnię z pojedynczą krawędzią opisał już w 1858 roku, jednak za jego życia praca nie została opublikowana. W tym samym roku, niezależnie od Mobiusa, podobnego odkrycia dokonał Johann Listing, inny uczeń Gaussa.

Taśma nadal nosiła imię Möbiusa. Stał się jednym z pierwszych obiektów topologii – nauki, która najwięcej bada właściwości ogólne figury, czyli takie, które zachowują się podczas ciągłych (bez cięć i sklejania) przekształceń: rozciągania, ściskania, zginania, skręcania itp. Przekształcenia te przypominają deformację figur wykonanych z gumy, dlatego topologię nazywa się inaczej „geometrią gumy”. Niektóre problemy topologiczne zostały rozwiązane przez Leonharda Eulera już w XVIII wieku. Początek Nowa okolica Matematyka rozpoczęła się od pracy Listinga „Wstępne badania topologiczne” (1847), pierwszej systematycznej pracy z zakresu tej nauki. Ukuł także termin „topologia” (od greckich słów τόπος - miejsce i λόγος - nauczanie).

Wstęgę Möbiusa można by uznać za ciekawostkę naukową, kolejny kaprys matematyków, gdyby nie została odnaleziona praktyczne zastosowanie i nie inspirował artystów. Artyści nie raz ją przedstawiali, rzeźbiarze stawiali jej pomniki, a pisarze dedykowali jej swoje dzieła. Ta niezwykła powierzchnia przyciąga uwagę architektów, projektantów, jubilerów, a nawet producentów odzieży i mebli. Zwracali na to uwagę wynalazcy, projektanci i inżynierowie (m.in. w latach 20. XX wieku opatentowano taśmy audio i filmowe w formie wstęgi Möbiusa, co pozwoliło na podwojenie czasu nagrywania). Ale najczęściej magicy zajmują się tą taśmą: przyciągają niezwykłe właściwości, pojawiający się po przecięciu. A więc, jeśli przetniesz wstęgę Möbiusa linia środkowa, nie podzieli się na dwie części, jak można by się spodziewać. Powstanie węższa i dłuższa taśma dwustronna, dwukrotnie skręcona (konstrukcja kolejki górskiej ma podobny kształt). Oto „kulinarny trik”: ciastka w kształcie wstęgi Mobiusa będą wydawać się smaczniejsze od zwykłych, bo można na nie posmarować dwa razy więcej kremu! Ponadto ciekawe projekty architektoniczne budynków wykonanych „w stylu wstęgi Möbiusa”. Na razie istnieją one jedynie na papierze, ale chcę wierzyć, że na pewno zostaną wdrożone.

Stanowisko „niejednoznaczne”.

Wstęga Möbiusa swoimi właściwościami przypomina obiekt z filmu Po drugiej stronie lustra. A ona sama, będąc sylwetką asymetryczną, ma lustrzane odbicie. Wyślijmy odcisk prawej stopy na spacer po taśmie, a wkrótce przekonamy się, że odcisk lewej stopy wróci do domu. To zabawne, prawda? A kiedy „prawica” zdołała stać się „lewicą”? „Zamontujmy” na taśmie dwuwymiarowy zegar i zmuśmy go, aby wykonał po niej pełny obrót. Patrząc na zegar, zobaczymy, że wskazówki na tarczy poruszają się z tą samą prędkością, ale z taką samą prędkością Odwrotna strona! A który z dwóch kierunków ruchu jest prawidłowy?

Kiedy zastanawiasz się nad odpowiedzią, zauważam, że matematyk zaproponowałby eleganckie wyjście nawet z tej „dwuznacznej” sytuacji. Konieczne jest, aby po pierwsze, zegar zawsze wskazywał tę samą godzinę, a po drugie, wskazówki na tarczy powinny znajdować się w pozycji, która zostanie zachowana w lustrzanym odbiciu, np. stać pionowo, tworząc odwrócony kąt.

Cóż, sprawdźmy odpowiedź? Tak naprawdę na wstędze Möbiusa nie da się ustawić konkretnego kierunku obrotu. Ten sam ruch można postrzegać zarówno jako obrót w prawo, jak i obrót w przeciwnym kierunku. Kiedy losowo wybrany punkt na wstędze Möbiusa obiega go, jeden kierunek w sposób ciągły zmienia się na inny. Jednocześnie „prawo” zostaje subtelnie zastąpione przez „lewo”. Istota dwuwymiarowa nie zauważy w sobie żadnych zmian. Ale będą je widzieć inne podobne istoty i oczywiście my, którzy obserwujemy to, co dzieje się z innego wymiaru. To taka nieprzewidywalna, jednostronna powierzchnia Möbiusa.

21 lipca 2017 r

Istnieć wiedza naukowa i zjawiska, które wnoszą tajemnicę i tajemnicę w codzienne życie naszego życia. Pasek Mobiusa sprawdza się w nich w pełni. Współczesna matematyka wspaniale opisuje wszystkie swoje właściwości i cechy za pomocą wzorów.

I tu zwykli ludzie słabo zorientowani w toponimii i innych mądrościach geometrycznych, niemal codziennie spotykają się z przedmiotami wykonanymi na jej obraz i podobieństwo, nawet o tym nie wiedząc. Czym jest wstęga Mobiusa, zwana także pętlą, powierzchnią lub arkuszem, jest przedmiotem studiów dla takiej dyscypliny matematycznej, jak topologia, która bada ogólne właściwości figur, które zachowują się pod wpływem takich ciągłych przekształceń, jak skręcanie, rozciąganie, ściskanie, zginanie i inne nie związane z naruszeniem integralności. Niesamowitą i unikalną cechą takiej taśmy jest to, że ma ona tylko jedną stronę i krawędź i nie jest w żaden sposób powiązana z jej położeniem w przestrzeni. Wstęga Mobiusa jest topologiczna, czyli obiekt ciągły o najprostszej jednostronnej powierzchni z granicą w zwykłej przestrzeni euklidesowej (trójwymiarowej), gdzie z jednego punktu takiej powierzchni można dostać się do dowolnego innego bez przechodzenia krawędź. Kto i kiedy ją odkrył?

Tak złożony obiekt jak wstęga Möbiusa odkryto w dość nietypowy sposób.

Przede wszystkim zauważamy, że dwóch matematyków, zupełnie niezwiązanych ze sobą w swoich badaniach, odkryło to jednocześnie - w 1858 roku.

Jeszcze jeden interesujący fakt jest to, że obaj ci naukowcy w inny czas byli uczniami tego samego wielkiego matematyka – Johanna Carla Friedricha Gaussa. Tak więc do 1858 roku uważano, że każda powierzchnia musi mieć dwie strony.

Jednak Johann Benedict Listing i August Ferdinand Möbius odkryli obiekt geometryczny, który miał tylko jeden bok i opisali jego właściwości. Pasek został nazwany na cześć Möbiusa, ale topolodzy uważają Listinga i jego pracę „Wstępne badania topologiczne” za ojca założyciela „geometrii gumy”. Właściwości Pasek Möbiusa ma następujące właściwości, które nie zmieniają się pod wpływem ściskania i cięcia wzdłużnie lub pomarszczona:

1. Obecność jednej strony. A. Mobius w swojej pracy „O objętości wielościanów” opisał powierzchnię geometryczną, nazwaną później na jego cześć, mającą tylko jedną stronę. Sprawdzenie tego jest dość proste: weź pasek lub pasek Mobiusa i spróbuj go pomalować wewnętrzna strona jeden kolor, a zewnętrzny - inny. Nie ma znaczenia, w którym miejscu i kierunku rozpoczęto kolorowanie, cała figura zostanie pomalowana tym samym kolorem.

2. Ciągłość wyraża się w tym, że dowolny punkt tego figura geometryczna można podłączyć do dowolnego innego punktu bez przekraczania granic powierzchni Mobiusa.

3. Łączność, czyli dwuwymiarowość polega na tym, że przy przecięciu taśmy wzdłuż nie okaże się, że jest ich kilka różne figury i pozostaje nienaruszony.

4. Brakuje tego ważna własność jako orientacja. Oznacza to, że osoba podążająca za tą postacią powróci na początek swojej ścieżki, ale tylko w swoim lustrzanym odbiciu. Zatem nieskończona wstęga Mobiusa może prowadzić do wiecznej podróży.

5. Specjalna liczba chromatyczna pokazująca maksymalną możliwą liczbę obszarów na powierzchni Mobiusa, które można utworzyć tak, aby każdy z nich miał wspólną granicę ze wszystkimi pozostałymi. Pasek Möbiusa ma liczbę chromatyczną -6, ale pierścień papierowy ma liczbę chromatyczną 5.

Zastosowanie naukowe

Dziś wstęga Mobiusa i jej właściwości znajdują szerokie zastosowanie w nauce, stanowiąc podstawę do konstruowania nowych hipotez i teorii, prowadzenia badań i eksperymentów oraz tworzenia nowych mechanizmów i urządzeń.

Istnieje zatem hipoteza, zgodnie z którą Wszechświat jest ogromną pętlą Mobiusa. Pośrednio potwierdza to teoria względności Einsteina, według której nawet statek lecący prosto może powrócić do tego samego punktu w czasie i przestrzeni, z którego wystartował.

Inna teoria postrzega DNA jako część powierzchni Mobiusa, co wyjaśnia trudności w czytaniu i rozszyfrowaniu kod genetyczny. Taka konstrukcja daje m.in. logiczne wyjaśnienie śmierci biologicznej – zamknięta w sobie spirala prowadzi do samozagłady obiektu.

Według fizyków wiele praw optycznych opiera się na właściwościach paska Mobiusa. Na przykład odbicie lustrzane jest specjalnym przeniesieniem w czasie i osoba widzi przed sobą swoje lustro podwójnie.

Zastosowanie w praktyce W różnych gałęziach przemysłu taśma Mobius jest stosowana od dawna. Wielki wynalazca Nikola Tesla na początku stulecia wynalazł rezystor Mobiusa, składający się z dwóch przewodzących powierzchni skręconych w 1800, który jest w stanie przeciwstawić się przepływowi prądu elektrycznego bez powodowania zakłóceń elektromagnetycznych.

Na podstawie badań powierzchni wstęgi Mobiusa i jej właściwości stworzono wiele urządzeń i instrumentów. Jego kształt powtarza się przy tworzeniu pasków taśm przenośnikowych i taśm farbowych w urządzeniach drukujących, pasów ściernych do ostrzenia narzędzi i automatycznych transferów. Pozwala to znacznie wydłużyć ich żywotność, ponieważ zużycie zachodzi bardziej równomiernie.

Nie tak dawno temu niesamowite właściwości taśmy Mobius umożliwiły stworzenie sprężyny, która w odróżnieniu od konwencjonalnych sprężyn strzelających w przeciwnym kierunku, nie zmienia kierunku działania. Stosowany jest w stabilizatorze napędu kierownicy, zapewniając powrót kierownicy do jej pierwotnego położenia.

Ponadto znak wstęgi Möbiusa jest używany w różnych znaki towarowe i logo. Najbardziej znanym z nich jest międzynarodowy symbol recyklingu. Jest umieszczany na opakowaniach towarów, które nadają się do recyklingu lub są wykonane z surowców wtórnych.

Źródło twórczych inspiracji Wstęga Mobiusa i jej właściwości stały się podstawą twórczości wielu artystów, pisarzy, rzeźbiarzy i filmowców. Bardzo sławny artysta, który wykorzystał taśmę i jej cechy w takich dziełach jak „Mobius Strip II (Red Ants)”, „Riders” i „Knots” - Maurits Cornelis Escher.

Paski Möbiusa, czyli powierzchnie o minimalnej energii, jak się je nazywa, stały się źródłem inspiracji dla artystów matematycznych i rzeźbiarzy, takich jak Brent Collins i Max Bill. Najsłynniejszy pomnik wstęgi Mobiusa ustawiony jest przy wejściu do Waszyngtońskiego Muzeum Historii i Technologii Rosyjscy artyści również nie stronili od tego tematu i stworzyli własne dzieła. Rzeźby Mobius Strip są instalowane w Moskwie i Jekaterynburgu. Literatura i topologia Niezwykłe właściwości powierzchni Mobius zainspirowały wielu pisarzy do tworzenia fantastycznych i surrealistycznych dzieł. Odtwarzana jest pętla Mobiusa ważna rola w powieści R. Zelaznego „Drzwi w piasku” i służy jako środek przemieszczania się w czasie i przestrzeni dla głównego bohatera powieści „Nekroskop” B. Lumleya.

Występuje także w opowiadaniach „Ściana ciemności” Arthura C. Clarke’a, „Na wstędze Mobiusa” M. Cliftona i „Wstędze Mobiusa” A. J. Deitcha. Na podstawie tego ostatniego reżyser Gustavo Mosquera nakręcił fantastyczny film „Mobius”.

Robimy to sami, własnymi rękami!

Jeśli interesuje Cię listwa Mobiusa, jak zrobić jej model, mała instrukcja powie Ci: 1. Do wykonania jego modelu potrzebne będą:

Arkusz zwykłego papieru;

Nożyce;

Linijka.

2. Wytnij pasek z kartki papieru tak, aby jego szerokość była 5-6 razy mniejsza niż długość.

3. Otrzymano pasek papieru położyć się płaska powierzchnia. Trzymamy jeden koniec dłonią, a drugi obracamy o 1800, tak aby pasek skręcił się, a zła strona stała się przednią stroną.

4. Sklej ze sobą końce skręconego paska, jak pokazano na rysunku.

Pasek Mobiusa jest gotowy.

5. Weź długopis lub marker i zacznij rysować ścieżkę na środku taśmy. Jeśli wszystko zrobiłeś poprawnie, powrócisz do tego samego punktu, w którym zacząłeś rysować linię.

Aby uzyskać wizualne potwierdzenie, że wstęga Möbiusa jest obiektem jednostronnym, spróbuj zamalować jeden z jej boków ołówkiem lub długopisem. Po chwili zobaczysz, że pomalowałeś go całkowicie.

Źródło econet.ru

Istnieje wiedza naukowa i zjawiska, które wnoszą tajemnicę i tajemnicę w codzienne życie naszego życia.

Pasek Mobiusa sprawdza się w nich w pełni. Współczesna matematyka wspaniale opisuje wszystkie swoje właściwości i cechy za pomocą wzorów. Ale zwykli ludzie, którzy nie mają zielonego pojęcia o toponimii i innej mądrości geometrycznej, niemal codziennie spotykają się z przedmiotami wykonanymi na jej obraz i podobieństwo, nawet o tym nie wiedząc.

Co to jest?

Wstęga Möbiusa, zwana także pętlą, powierzchnią lub arkuszem, jest przedmiotem badań w dyscyplinie matematycznej topologia, która bada ogólne właściwości figur, które zachowują się pod wpływem ciągłych przekształceń, takich jak skręcanie, rozciąganie, ściskanie, zginanie i inne nie związane z naruszeniem integralności. Niesamowitą i unikalną cechą takiej taśmy jest to, że ma ona tylko jedną stronę i krawędź i nie jest w żaden sposób powiązana z jej położeniem w przestrzeni. Wstęga Mobiusa jest topologiczna, czyli obiekt ciągły o najprostszej jednostronnej powierzchni z granicą w zwykłej przestrzeni euklidesowej (trójwymiarowej), gdzie z jednego punktu takiej powierzchni można dostać się do dowolnego innego bez przechodzenia krawędzie.

Kto i kiedy je otworzył?

Tak złożony obiekt jak wstęga Möbiusa odkryto w dość nietypowy sposób. Przede wszystkim zauważamy, że dwóch matematyków, zupełnie niezwiązanych ze sobą w swoich badaniach, odkryło to jednocześnie - w 1858 roku. Inną ciekawostką jest to, że obaj ci naukowcy w różnym czasie byli uczniami tego samego wielkiego matematyka – Johanna Carla Friedricha Gaussa. Tak więc do 1858 roku uważano, że każda powierzchnia musi mieć dwie strony. Jednak Johann Benedict Listing i August Ferdinand Möbius odkryli obiekt geometryczny, który miał tylko jeden bok i opisali jego właściwości. Pasek został nazwany na cześć Möbiusa, ale topolodzy uważają Listinga i jego pracę „Wstępne badania topologiczne” za ojca założyciela „geometrii gumy”.

Nieruchomości

Wstęga Möbiusa ma następujące właściwości, które nie zmieniają się pod wpływem ściskania, cięcia wzdłużnego lub zgniatania:

1. Obecność jednej strony. A. Mobius w swojej pracy „O objętości wielościanów” opisał powierzchnię geometryczną, nazwaną później na jego cześć, mającą tylko jedną stronę. Łatwo to sprawdzić: weź pasek lub pasek Mobiusa i spróbuj pomalować wnętrze jednym kolorem, a zewnętrzną stronę innym. Nie ma znaczenia, w którym miejscu i kierunku rozpoczęto kolorowanie, cała figura zostanie pomalowana tym samym kolorem.

2. Ciągłość wyraża się w tym, że dowolny punkt tej figury geometrycznej można połączyć z dowolnym innym punktem bez przekraczania granic powierzchni Mobiusa.

3. Łączność, czyli dwuwymiarowość, polega na tym, że podczas cięcia taśmy wzdłuż nie wyjdzie z niej kilka różnych kształtów i pozostaje solidna.

4. Brakuje mu tak ważnej właściwości jak orientacja. Oznacza to, że osoba podążająca za tą postacią powróci na początek swojej ścieżki, ale tylko w swoim lustrzanym odbiciu. Zatem nieskończona wstęga Mobiusa może prowadzić do wiecznej podróży.

5. Specjalna liczba chromatyczna pokazująca maksymalną możliwą liczbę obszarów na powierzchni Mobiusa, które można utworzyć tak, aby każdy z nich miał wspólną granicę ze wszystkimi pozostałymi. Pasek Möbiusa ma liczbę chromatyczną 6, ale papierowy pierścień ma liczbę chromatyczną 5.

Zastosowanie naukowe

Inna teoria postrzega DNA jako część powierzchni Mobiusa, co wyjaśnia trudności w czytaniu i rozszyfrowaniu kodu genetycznego. Taka konstrukcja daje m.in. logiczne wyjaśnienie śmierci biologicznej – zamknięta w sobie spirala prowadzi do samozagłady obiektu.

Implementacja w praktyce

Pasek Mobiusa od dawna znajduje zastosowanie w różnych gałęziach przemysłu. Wielki wynalazca Nikola Tesla na początku stulecia wynalazł rezystor Möbiusa, składający się z dwóch przewodzących powierzchni skręconych o 180°, który jest w stanie przeciwstawić się przepływowi prądu elektrycznego bez powodowania zakłóceń elektromagnetycznych.

Ponadto znak wstęgi Möbiusa jest używany w różnych markach i logo. Najbardziej znanym z nich jest międzynarodowy symbol recyklingu. Jest umieszczany na opakowaniach towarów, które nadają się do recyklingu lub są wykonane z surowców wtórnych.

Źródło twórczych inspiracji

Wstęga Möbiusa i jej właściwości stały się podstawą twórczości wielu artystów, pisarzy, rzeźbiarzy i filmowców. Najbardziej znanym artystą, który wykorzystał taśmę i jej cechy w takich dziełach jak „Möbius Strip II (Red Ants)”, „Riders” i „Knots” jest Maurits Cornelis Escher.

Rosyjscy artyści również nie stronili od tego tematu i tworzyli własne dzieła. Rzeźby Mobius Strip zainstalowano w Moskwie i Jekaterynburgu.

Literatura i topologia

Niezwykłe właściwości powierzchni Möbiusa zainspirowały wielu pisarzy do tworzenia dzieł fantastycznych i surrealistycznych. Pętla Mobiusa odgrywa ważną rolę w powieści R. Zelaznego „Drzwi w piasku” i służy jako środek przemieszczania się w przestrzeni i czasie głównego bohatera powieści „Nekroskop” B. Lumleya.

Robimy to sami, własnymi rękami!

Jeśli interesuje Cię listwa Mobiusa, jak zrobić jej model, mała instrukcja powie Ci:

1. Do wykonania jego modelu potrzebne będą:

Arkusz zwykłego papieru;

Nożyce;

Linijka.

2. Wytnij pasek z kartki papieru tak, aby jego szerokość była 5-6 razy mniejsza niż długość.

3. Rozłóż powstały pasek papieru na płaskiej powierzchni. Trzymamy jeden koniec dłonią, a drugi obracamy o 180 0 tak, aby pasek skręcił się, a zła strona stała się przednią stroną.

4. Sklej ze sobą końce skręconego paska, jak pokazano na rysunku.

Pasek Mobiusa jest gotowy.

5. Weź długopis lub marker i zacznij rysować ścieżkę na środku taśmy. Jeśli wszystko zrobiłeś poprawnie, powrócisz do tego samego punktu, w którym zacząłeś rysować linię.

Prawie każdy wie, jak wygląda symbol nieskończoności, przypominający odwróconą ósemkę. Znak ten nazywany jest także „lemniscate”, co oznacza wstążkę ze starożytnej Grecji. Wyobraź sobie, że symbol nieskończoności jest bardzo podobny do rzeczywistej cyfry matematycznej. Poznaj pasek Mobius!

Co to jest pasek Mobiusa?

wstęga Mobiusa(nazywana także pętlą Mobiusa, wstęgą Mobiusa lub nawet pierścieniem Mobiusa) to jedna z najsłynniejszych powierzchni w matematyce. Pętla Möbiusa jest pętlą o jednej powierzchni i jednej krawędzi.

Aby zrozumieć co mówimy o i jak to możliwe, weź kartkę papieru, wytnij pasek prostokątny kształt i w momencie łączenia jego końców przekręć jeden z nich o 180 stopni, a następnie połącz. Poniższy obrazek pomoże Ci dowiedzieć się, jak wykonać wstęgę Mobiusa.

Co jest takiego niezwykłego w wstędze Mobiusa?

wstęga Mobiusa- przykład nieorientowanej jednostronnej powierzchni z jedną krawędzią w zwykłej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Większość obiektów można orientować i mają one dwie strony, np. kartkę papieru.

Jak więc wstęga Möbiusa może być nieorientowaną, jednostronną powierzchnią – mówisz, bo papier, z którego jest wykonany, ma dwie strony. I próbujesz wziąć marker i wypełnić kolorem jeden z boków taśmy, na koniec trafisz do pozycji wyjściowej, a cała taśma zostanie całkowicie zamalowana, co potwierdza, że ma tylko jedną stronę.

Aby uwierzyć, że pętla Mobiusa ma tylko jedną krawędź, przesuń palcem bez przerwy po jednej z krawędzi taśmy, a podobnie jak w przypadku kolorowania trafisz w punkt, od którego zacząłeś się poruszać. Niesamowite, prawda?

Bada wstęgę Möbiusa i wiele innych ciekawych obiektów - topologia, dział matematyki badający niezmienne właściwości obiektu podczas jego ciągłego odkształcania - rozciągania, ściskania, zginania, bez naruszania jego integralności.

Odkrycie Augusta Moebiusa

Za „ojca” tej niezwykłej taśmy uznawany jest Niemiecki matematyk Augusta Ferdynanda Mobiusa, uczeń Gaussa, który napisał więcej niż jedną pracę z geometrii, ale zasłynął głównie dzięki odkryciu w 1858 roku powierzchni jednostronnej.

Zaskakujący jest fakt, że taśmę o jednej powierzchni odkrył w tym samym roku 1858 inny uczeń Gaussa – utalentowany matematyk Lista Johanna, który ukuł termin „topologia” i napisał serię przełomowych prac na temat tej gałęzi matematyki. Jednak jego nazwa niezwykła wstążka mimo to otrzymał imię Mobius.

Panuje powszechne przekonanie, że prototypem modelu „nieskończonej pętli” była źle uszyta wstążka przez pokojówkę profesora Augusta Moebiusa.

W rzeczywistości, taśma została otwarta dawno temu z powrotem świat starożytny. Jednym z potwierdzeń jest starożytna rzymska mozaika z tą samą skręconą wstążką znajdująca się we Francji, w muzeum miasta Arles. Przedstawia Orfeusza czarującego zwierzęta dźwiękami harfy. Tło wielokrotnie przedstawia ornament ze skręconą wstążką.

„Magia” wstęgi Mobiusa

Pomimo pozornej obecności dwóch stron paska Mobiusa, tak naprawdę jest tylko jedna strona i nie będzie możliwości pomalowania paska na dwa kolory.
Jeśli narysujesz linię na całej długości pętelki za pomocą długopisu lub ołówka, nie odrywając ręki od kartki, rysik ostatecznie zatrzyma się w miejscu, od którego zacząłeś rysować linię;
Niezwykłych wrażeń dostarcza przecięcie wstęgi, co może zaskoczyć zarówno dorosłego, jak i dziecko.

Najpierw sklejamy pasek Mobiusa, jak opisano wcześniej. Następnie przecinamy go na całej długości dokładnie w środku, jak pokazano poniżej:

Będziesz zaskoczony efektem, bo wbrew oczekiwaniom w Twoich rękach pozostaną nie dwa kawałki taśmy, czy nawet dwa osobne kółka, ale kolejne, nawet więcej długa wstążka. To już nie będzie wstęga Mobiusa skręcona o 180 stopni, ale wstęga obrócona o 360 stopni.

Przeprowadźmy teraz kolejny eksperyment - wykonaj kolejną pętlę Moebiusa, po czym odmierzmy 1/3 szerokości taśmy i przetnijmy wzdłuż tej linii. Efekt zadziwi Cię jeszcze bardziej – w dłoniach pozostaną Ci dwie osobne taśmy. różne rozmiary, połączone razem jak w łańcuszku: jedna mała wstążka i druga dłuższa.

Mniejszy pasek Möbiusa będzie miał 1/3 pierwotnej szerokości paska, długość L i obrót o 180 stopni. Druga dłuższa taśma również będzie miała szerokość 1/3 początkowej, ale długość 2L i obrót o 360 stopni.

Możesz kontynuować eksperyment dalej, przecinając powstałe wstążki na jeszcze węższe, wynik zobaczysz sam.

Dlaczego potrzebujemy pętli Mobiusa? Aplikacja

Wstęga Möbiusa nie jest wcale figurą abstrakcyjną, potrzebną jedynie do celów matematycznych; znalazła zastosowanie także w życiu codziennym. Życie codzienne. W oparciu o zasadę tego pasa, pas na lotnisku działa w celu przenoszenia walizek z luku bagażowego. Taka konstrukcja pozwala na dłuższą trwałość ze względu na równomierne zużycie. Odkrycie Augusta Mobiusa ma szerokie zastosowanie w przemyśle obrabiarkowym. Konstrukcja stosowana przy dłuższych czasach nagrywania na kliszy, a także w drukarkach wykorzystujących do druku taśmę.

Dzięki swojej przejrzystości pętla Mobiusa umożliwia współczesnym naukowcom dokonywanie coraz to nowych odkryć. Od odkrycia niesamowite właściwości pętli, przez świat przetoczyła się fala nowych opatentowanych wynalazków. Przykładowo znaczna poprawa właściwości rdzeni magnetycznych wykonanych z taśmy ferromagnetycznej nawiniętej metodą Mobiusa.

N. Tesla otrzymał patent na wielofazowy układ prądu przemiennego, wykorzystujący uzwojenie cewek generatora niczym pętlę Mobiusa.

Amerykański naukowiec Richard Davis zaprojektował niereaktywny rezystor Mobiusa - zdolny do wygaszania rezystancji reaktywnej (pojemnościowej i indukcyjnej) bez powodowania zakłóceń elektromagnetycznych.

Wstęga Mobiusa – szerokie pole inspiracji

Trudno przecenić znaczenie odkrycia pętli Mobiusa, które zainspirowało nie tylko ogromną liczbę naukowców, ale także pisarzy i artystów.

Za najsłynniejsze dzieło poświęcone wstędze Moebiusa uważa się obraz Moebiusa Strip II, Czerwone mrówki lub Czerwone mrówki autorstwa holenderskiego grafika Mauritsa Eschera. Obraz przedstawia mrówki wspinające się po pętli Mobiusa z obu stron, choć tak naprawdę jest tylko jedna strona. Mrówki pełzają w nieskończonej pętli, jedna po drugiej, po tej samej powierzchni.

Artysta czerpał swoje pomysły z artykułów i prac z zakresu matematyki, był głęboko zafascynowany geometrią. W związku z tym jego litografie i ryciny często zawierają różnorodne figury geometryczne, fraktale, oszałamiające złudzenia optyczne.

Jak na razie zainteresowanie pętlą Mobiusa jest na bardzo wysokim poziomie. wysoki poziom nawet sportowcy wprowadzili figurę akrobacyjną o tej samej nazwie.

Na podstawie dzieła „Wstęga Mobiusa” pisarza science fiction Armina Deitcha nakręcono niejeden film. W kształcie pętli Mobiusa powstaje ogromna różnorodność biżuterii, butów, rzeźb i wielu innych przedmiotów i kształtów.

Wstęga Möbiusa odcisnęła piętno na produkcji, projektowaniu, sztuce, nauce, literaturze i architekturze.

Umysły wielu ludzi martwiły się podobieństwem kształtu cząsteczki DNA i pętli Mobiusa. Radziecki cytolog Navashin wysunął hipotezę, że forma chromosom pierścieniowy jego struktura jest podobna do wstęgi Möbiusa. Naukowca do tego pomysłu skłonił fakt, że chromosom pierścieniowy podczas namnażania zamienia się w dłuższy pierścień niż na początku, albo w dwa małe pierścienie, ale jakby w łańcuszku przewleczonym jeden w drugi, co bardzo przypomina opisane powyżej eksperymenty z wstęgą Mobiusa.

W 2015 roku udało się zakręcić grupie naukowców z Europy i USA światło do pierścienia Mobiusa. W eksperymentach naukowych naukowcy wykorzystali soczewki optyczne oraz światło strukturalne – skupioną wiązkę lasera o określonej intensywności i polaryzacji w każdym punkcie jej ruchu. W rezultacie otrzymano paski światła Möbiusa.

Istnieje inna, szersza teoria. Wszechświat jest ogromną pętlą Mobiusa. Einstein trzymał się tej idei. Zasugerował, że Wszechświat jest zamknięty i statek kosmiczny rozpoczynając od pewnego punktu i lecąc cały czas prosto, powróci do tego samego punktu w przestrzeni i czasie, od którego rozpoczął się jego ruch.

Na razie są to jedynie hipotezy, które mają zarówno zwolenników, jak i przeciwników. Kto wie, do jakiego odkrycia pozornie prosty obiekt, jakim jest wstęga Mobiusa, doprowadzi naukowców.

Oto on - autor niesamowitej wstęgi Mobius!
Niemiecki matematyk i astronom teoretyczny Augusta Ferdynanda Mobiusa(1790-1868) - uczeń wielkiego Gaussa, słynnego geometry, profesora na Uniwersytecie w Lipsku, dyrektor obserwatorium. Wiele lat nauczania, długie lata praca - zwykłe życie profesor.

I wow, to się wydarzyło pod koniec mojego życia! Wpadł na niesamowity pomysł... to było najważniejsze wydarzenie w jego życiu! Niestety, nigdy nie miał czasu docenić znaczenia swojego wynalazku. Pośmiertnie ukazał się artykuł o słynnej wstędze Möbiusa.

Jak nazywają się wstęga Mobiusa (znana również jako wstęga Mobiusa lub pętla Mobiusa) przez matematyków?

W języku matematyki tak jest obiekt topologiczny, najprostszy jednostronna powierzchnia z krawędzią w zwykłej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, gdzie można przejść z jednego punktu tej powierzchni do dowolnego innego bez przekraczania krawędzi.
Dość złożona definicja!

Dlatego wygodniej jest po prostu przyjrzeć się bliżej wstędze Mobiusa. Weź pasek papieru, przekręć go o pół obrotu (180 stopni) i sklej końce ze sobą.

Innym razem „Mama by mnie nie poklepała po głowie za taką pracę”! Ale tym razem masz rację! Powinien to być skręcony pierścień.

Umieść kropkę gdzieś na pasku za pomocą pisaka. Teraz rysujemy linię wzdłuż całej naszej taśmy, aż ponownie osiągniesz swój punkt widzenia. Nie trzeba było nigdzie wychodzić poza krawędź – to się nazywa powierzchnia jednostronna.

Zobacz, jak interesująca jest narysowana linia: albo znajduje się wewnątrz pierścienia, albo na zewnątrz! Teraz zmierz długość tej linii - od punktu do punktu.
Czy jesteś zaskoczony?
Okazuje się, że jest dwa razy dłuższy niż oryginalny pasek papieru!

Powinno tak być, bo masz w ręku wstęgę Mobiusa! Ale wstęga Möbiusa ma tylko jedną stronę i powtórzymy - jest to jednostronna powierzchnia z krawędzią.

A jeśli zmusisz mrówkę do pełzania wzdłuż tej linii bez przewracania się, otrzymasz kopię obrazu artysty Maurice'a Eschera.
Biedna mrówka na niekończącej się drodze

Czy możesz zrobić trochę dwóch? różne taśmy Möbius: w pierwszym przypadku przed sklejeniem przekręć pasek zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a w drugim w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Tak różnią się prawy i lewy pasek Möbiusa.

I teraz ciekawe niespodzianki z wstęgą Moebiusa:

1. Wytnij pasek Moebiusa po okręgu wzdłuż linii środkowej. Nie bój się, nie rozpadnie się na pół! Wstążka rozwinie się w długą, zamkniętą wstążkę, skręconą dwukrotnie bardziej niż oryginał. Dlaczego wstęga Möbiusa nie rozpada się na oddzielne części przy cięciu w ten sposób?
Cięcie nie dotykało krawędzi taśmy, więc po przecięciu krawędź (a co za tym idzie cały pasek papieru) pozostanie całością.

2. Otrzymany po pierwszym eksperymencie pasek Mobiusa (skręcony dwa razy bardziej niż oryginał, czyli o 360 stopni) przetnij wzdłuż jego linii środkowej.
Co się stanie?
Będziesz teraz miał w swoich rękach dwa identyczne, ale splecione paski Möbiusa.

3. Zrób nowa taśma Möbiusa, ale przed sklejeniem obróć go nie raz, a trzy razy (nie o 180 stopni, ale o 540). Następnie wytnij go wzdłuż linii środkowej.

Co się stało?
Powinieneś otrzymać zamkniętą, zwiniętą wstążkę węzeł trójlistny, tj. w prosty węzeł z trzema samoprzecięciami.

4. Jeśli zrobisz pasek Mobiusa z większą ilością duża liczba pół obrotu przed sklejeniem, otrzymasz nieoczekiwane i niesamowite kształty tzw pierścienie paradromiczne.

5. Jeśli przetniesz wstęgę Möbiusa nie na środku, ale cofając się od krawędzi o około jedną trzecią jej szerokości, otrzymasz dwa połączone paski, jeden więcej krótka wstążka Möbiusa, a druga to długa wstęga Möbiusa z dwoma półobrotami.

Zobacz jak można to zrobić w praktyce:

Jednostronna powierzchnia zbliżona do wstęgi Möbiusa to Butelka Kleina.
Co ciekawe, butelkę Kleina można wykonać sklejając ze sobą dwa paski Moebiusa na krawędziach. Jednak w zwykłej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej nie da się tego zrobić bez stworzenia samoprzecięcia.

Z wstęgą Mobiusa związany jest jeszcze jeden ciekawy obiekt. Ten Rezystor Moebiusa.

W historii często zdarzają się przypadki, gdy jeden pomysł przychodzi do głowy kilku wynalazcom jednocześnie. Stało się tak z paskiem Mobius. W tym samym 1858 roku pomysł taśmy przyszedł do głowy innemu naukowcowi - Lista Johanna. Nadał nazwę nauce badającej ciągłość - topologia. A mistrzostwo w odkryciu obiektu topologicznego – wstęgi – przypadło Augustowi Moebiusowi.

Po cichu spotykamy wstęgę Mobiusa różne urządzenia: są to między innymi taśmy barwiące w drukarkach igłowych, napędach pasowych, urządzeniach szlifierskich, przenośnikach taśmowych i wielu innych. W takim przypadku żywotność produktu wzrasta, ponieważ zużycie jest zmniejszone. Natomiast w systemach zapisu ciągłego zastosowanie listwy Mobius pozwala na podwojenie czasu nagrywania na jednej taśmie.

Tajemnicza wstęga Mobiusa od zawsze fascynowała umysły pisarzy, artystów i rzeźbiarzy.
W grafice wykorzystano wzór pasków Mobiusa. Przypomnijmy sobie chociażby emblemat słynnej serii książek popularnonaukowych „Biblioteka Kwantowa” czy międzynarodowy symbol recyklingu