Rozszerzenie szeregu punktowego Laurenta. Seria Laurenta wyodrębniła punkty osobliwe i ich klasyfikację

Szereg Taylora jest skutecznym narzędziem do badania funkcji analitycznych w okręgu zol Do badania funkcji analitycznych w dziedzinie pierścieniowej okazuje się, że można skonstruować rozwinięcia w dodatnie i ujemne potęgi (z - zq) postaci które uogólniają rozwinięcia Taylora. Szereg (1), rozumiany jako suma dwóch szeregów, nazywany jest szeregiem Laurenta. Jest oczywiste, że obszar zbieżności szeregu (1) jest częścią wspólną obszarów zbieżności każdego szeregu (2). Znajdźmy ją. Obszar zbieżności pierwszego szeregu to okrąg, którego promień wyznacza wzór Cauchy'ego-Hadamarda. Wewnątrz okręgu zbieżności szereg (3) zbiega się do funkcji analitycznej, a w dowolnym okręgu o mniejszym promieniu zbiega się. absolutnie i jednolicie. Drugi szereg jest szeregiem potęgowym względem zmiennej Szereg (5) zbiega się w obrębie swojego koła zbieżności do funkcji analitycznej zmiennej zespolonej m-*oo, a w dowolnym okręgu o mniejszym promieniu jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie, co oznacza, że ​​szereg ten jest szeregiem potęgowym. oznacza, że ​​obszar zbieżności szeregów (4) jest zewnętrzną częścią okręgu - Jeżeli zatem istnieje wspólny obszar zbieżności szeregów (3) i (4) - pierścień kołowy, w którym szereg (1) zbiega się do funkcji analitycznej. Co więcej, w dowolnym pierścieniu zbiega się absolutnie i równomiernie. Przykład 1. Wyznaczanie obszaru zbieżności rad Laurenta Izolowane punkty osobliwe i ich klasyfikacja M Obszar zbieżności pierwszego szeregu to zewnętrzna część okręgu, a obszar zbieżności drugiego szeregu to wnętrze okręgu. szereg ten zbiega się w okręgi Twierdzenie 15. Dowolną funkcję f (z), jednoznaczną i apolityczną w pierścieniu kołowym, można przedstawić w tym pierścieniu jako sumę szeregu zbieżnego, którego współczynniki Cn są jednoznacznie wyznaczane i obliczane zgodnie ze wzorami gdzie 7p jest kołem o promieniu m. Ustalmy dowolny punkt z wewnątrz pierścienia R. Skonstruujmy okręgi o środkach w punkcie r, których promienie spełniają nierówności i rozważmy nowy pierścień. Korzystając z twierdzenia całkowego Cauchy'ego dla obszaru wielokrotnie połączonego, mamy Przekształcamy oddzielnie każdą całkę w sumie (8). Dla wszystkich punktów £ na okręgu 7d* spełniona jest relacja desumowa jednolicie zbieżnego szeregu 1 1. Zatem ułamek ^ można przedstawić w postaci vi- / "/ Mnożąc obie części przez funkcję ciągłą (O i wykonując. całkowanie wyraz po wyrazie po okręgu otrzymujemy, że transformację drugiej całki przeprowadzamy w nieco inny sposób. Dla wszystkich punktów £ na okręgu ir> zachodzi następująca zależność. Zatem ułamek ^ można przedstawić jako suma szeregu jednolicie zbieżnego. Mnożąc obie części przez funkcję ciągłą) i całkując wzdłuż okręgu 7/, otrzymujemy, że całki we wzorach (10) i (12) są funkcjami analitycznymi w pierścieniu kołowym. Zatem na mocy twierdzenia Cauchy'ego wartości odpowiednich całek nie ulegną zmianie, jeśli koła 7/r i 7r/ zastąpimy dowolnym okręgiem. Pozwala to połączyć wzory (10) i (12). Zastępując całki po prawej stronie wzoru (8) odpowiednio ich wyrażeniami (9) i (11), otrzymujemy wymagane rozwinięcie. Ponieważ z jest dowolne punktu pierścienia wynika, że ​​szereg ( 14) w każdym miejscu tego pierścienia zbiega się do funkcji f(z), a w dowolnym pierścieniu szereg zbiega się do tej funkcji bezwzględnie i jednostajnie. Udowodnimy teraz, że rozkład postaci (6) jest jedyny. Załóżmy, że istnieje jeszcze jedno rozwinięcie. Wtedy wszędzie wewnątrz pierścienia R będziemy mieli Na okręgu szereg (15) zbiegający się równomiernie. Pomnóżmy obie strony równości (gdzie m jest ustaloną liczbą całkowitą i scałkujmy oba szeregi wyraz po wyrazie. W rezultacie otrzymujemy po lewej stronie, a po prawej - St. Zatem (4, = St. Ponieważ m jest dowolną liczbą, ostatnia równość świadczy o jednoznaczności rozwinięcia Szereg (6), którego współczynniki oblicza się ze wzorów (7), nazywa się szeregiem Laurenta funkcji f(z) w pierścieniu zbiór wyrazów tego szeregu o potęgach nieujemnych nazywa się właściwą częścią szeregu Laurenta, a z ujemnymi jego częścią główną. Wzory (. 7) na współczynniki szeregu Laurenta są rzadko stosowane w praktyce, ponieważ jako z reguły wymagają uciążliwych obliczeń. Zwykle, jeśli to możliwe, stosuje się gotowe rozwinięcia Taylora funkcji elementarnych. Ze względu na jednoznaczność rozwinięcia każda uprawniona metoda prowadzi do tego samego wyniku. Przykład 2. Rozważmy rozwinięcia w szereg Laurenta funkcji w różnych obszarach, zakładając, że f(r) ma dwa punkty osobliwe: Istnieją zatem trzy obszary pierścieniowe, których środek znajduje się w punkcie r = 0. W każdym z nich funkcja /(r) jest analityczna: a. ) okrąg pierścień na zewnątrz koła (ryc. 27). Znajdźmy rozwinięcia Laurenta funkcji /(z) w każdym z tych obszarów. Przedstawmy /(z) jako sumę ułamków elementarnych a) Okrąg Przekształcamy relację (16) w następujący sposób. Korzystając ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy znalezione rozwinięcia. : To rozwinięcie jest szeregiem Taylora funkcji /(z). b) Pierścień dla funkcji -r pozostaje w tym pierścieniu zbieżny, ponieważ Seria (19) dla funkcji j^j dla |z| > 1 jest rozbieżny. Dlatego przekształcamy funkcję /(z) w następujący sposób: ponownie stosując wzór (19) otrzymujemy, że Ten szereg jest zbieżny dla. Podstawiając rozwinięcia (18) i (21) do zależności (20) otrzymujemy c) Zewnętrzną część okręgu dla funkcji -z dla |z| > 2 rozbieżności i szereg (21) dla funkcji- Przedstawmy funkcję f(z) w postaci: / Korzystając ze wzorów (18) i (19) otrzymujemy OR 1 Z tego przykładu wynika, że ​​dla tej samej funkcji f(z ) rozwinięcie Laurenta, ogólnie rzecz biorąc, ma inną postać dla różnych pierścieni. Przykład 3. Znajdź rozwinięcie 8. szeregu Laurenta funkcji Szereg Laurenta Izolowane punkty osobliwe i ich klasyfikacja w dziedzinie pierścienia A Reprezentację funkcji f(z) wykorzystujemy w następującej postaci: i przekształcamy drugi wyraz Za pomocą wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy Podstawiając znalezione wyrażenia do wzoru (22) otrzymujemy Przykład 4. Rozwiń w szeregu Laurenta funkcję w pobliżu szczęki zq = 0. Dla dowolnego kompleksu mieć Niech To rozwinięcie obowiązuje dla dowolnego punktu z Ф 0. W tym przypadku obszar pierścienia reprezentuje całą płaszczyznę zespoloną z jednym odrzuconym punktem z - 0. Obszar ten można zdefiniować za pomocą następującej zależności: Ta funkcja jest analityczna w obszarze Ze wzorów (13) na współczynniki szeregu Laurenta, korzystając z tego samego rozumowania, co w poprzednim akapicie, można otrzymać nierówności Kouiwa. jeśli funkcja f(z) jest ograniczona na okręgu, gdzie M jest stałą), to izolowane punkty osobliwe Punkt zo nazywany jest izolowanym punktem osobliwym funkcji f(z), jeżeli punkt jest w sąsiedztwie pierścienia ( zbiór ten nazywany jest czasami przebitym otoczeniem punktu 2o), dla którego funkcja f(z) jest jednoznaczna i analityczna. W samym punkcie zo funkcja jest albo niezdefiniowana, albo niejednoznaczna i analityczna. W zależności od zachowania funkcji /(r) przy dochodzeniu do punktu zo wyróżnia się trzy rodzaje punktów osobliwych. Mówi się, że izolowany punkt osobliwy jest: 1) usuwalny, jeśli istnieje skończony, 2) pmusach, jeśli 3) zasadniczo osobliwy punkt, jeśli funkcja f(z) nie ma granicy w. Typ izolowanego punktu osobliwego jest ściśle powiązany z charakter rozwinięcia Laurenta funkcji przez przebity środek . Twierdzenie 16. Izolowany punkt osobliwy z0 funkcji f(z) jest usuwalnym punktem osobliwym wtedy i tylko wtedy, gdy rozwinięcie Laurenta funkcji f(z) w sąsiedztwie punktu zo nie zawiera części głównej, tj. ma postać Niech zo będzie usuwalnym punktem osobliwym. Zatem istnieje skończona funkcja f(z) ograniczona w prologicznym sąsiedztwie punktu z. Na mocy nierówności Cauchy'ego można wybrać dowolnie małe współczynniki, to wszystkie współczynniki mają potęgi ujemne (z). - 20) są równe zeru: I odwrotnie, niech rozwinięcie Laurenta funkcji /(r) w sąsiedztwie punktu zq zawiera tylko część poprawną, czyli ma postać (23) i dlatego jest Taylora. Łatwo zauważyć, że dla z -* z0 funkcja /(z) ma wartość graniczną: Twierdzenie 17. Izolowany punkt osobliwy zq funkcji f(z) jest usuwalny wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja J(z) jest ograniczony w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu zq, Zgmechai nie. Niech r będzie usuwalnym punktem osobliwym funkcji /(r). Zakładając, że funkcja /(r) jest analityczna w pewnym okręgu ze środkiem w punkcie r. To określa nazwę punktu - usuwalny.

Jak wstawić wzory matematyczne na stronę internetową?

Jeśli kiedykolwiek będziesz musiał dodać jedną lub dwie formuły matematyczne do strony internetowej, najłatwiej to zrobić w sposób opisany w artykule: formuły matematyczne można łatwo wstawić na stronę w postaci obrazów, które są automatycznie generowane przez Wolfram Alpha . Oprócz prostoty, ta uniwersalna metoda pomoże poprawić widoczność witryny w wyszukiwarkach. Działa od dawna (i myślę, że będzie działać wiecznie), ale jest już moralnie przestarzały.

Jeśli regularnie korzystasz z formuł matematycznych na swojej stronie, to polecam skorzystać z MathJax – specjalnej biblioteki JavaScript, która wyświetla notację matematyczną w przeglądarkach internetowych przy użyciu znaczników MathML, LaTeX lub ASCIIMathML.

Istnieją dwa sposoby rozpoczęcia korzystania z MathJax: (1) za pomocą prostego kodu możesz szybko podłączyć do swojej witryny skrypt MathJax, który zostanie automatycznie załadowany ze zdalnego serwera w odpowiednim czasie (lista serwerów); (2) pobierz skrypt MathJax ze zdalnego serwera na swój serwer i podłącz go do wszystkich stron swojej witryny. Druga metoda - bardziej złożona i czasochłonna - przyspieszy ładowanie stron Twojej witryny, a jeśli z jakiegoś powodu nadrzędny serwer MathJax stanie się chwilowo niedostępny, nie będzie to miało żadnego wpływu na Twoją witrynę. Pomimo tych zalet wybrałem pierwszą metodę, ponieważ jest prostsza, szybsza i nie wymaga umiejętności technicznych. Podążaj za moim przykładem, a już za 5 minut będziesz mógł korzystać ze wszystkich funkcji MathJax na swojej stronie.

Możesz połączyć skrypt biblioteki MathJax ze zdalnym serwerem, korzystając z dwóch opcji kodu pobranych z głównej witryny MathJax lub ze strony dokumentacji:

Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej pomiędzy tagami i/lub bezpośrednio po tagu. Według pierwszej opcji MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie monitoruje i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wstawisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.

Najłatwiej połączyć się z MathJax w Bloggerze lub WordPressie: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję kodu pobierania przedstawionego powyżej i umieść widżet bliżej na początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML, a będziesz gotowy do wstawiania formuł matematycznych na stronach internetowych swojej witryny.

Każdy fraktal jest konstruowany według pewnej reguły, którą konsekwentnie stosuje się nieograniczoną liczbę razy. Każdy taki moment nazywany jest iteracją.

Iteracyjny algorytm konstruowania gąbki Mengera jest dość prosty: oryginalny sześcian o boku 1 jest podzielony płaszczyznami równoległymi do jego ścian na 27 równych sześcianów. Usuwa się z niego jedną środkową kostkę i 6 sąsiadujących z nią kostek. Rezultatem jest zestaw składający się z pozostałych 20 mniejszych kostek. Robiąc to samo z każdą z tych kostek, otrzymamy zestaw składający się z 400 mniejszych kostek. Kontynuując ten proces w nieskończoność, otrzymujemy gąbkę Mengera.

Jeżeli funkcja f(x) ma pochodne wszystkich rzędów na pewnym przedziale zawierającym punkt a, to można do niej zastosować wzór Taylora:
,
Gdzie r n– tzw. człon resztowy lub reszta szeregu, można ją oszacować korzystając ze wzoru Lagrange’a:
, gdzie liczba x mieści się pomiędzy x i a.

f(x)=

w punkcie x 0 = Liczba elementów rzędu 3 4 5 6 7

Zasady wprowadzania funkcji:

Jeśli dla jakiejś wartości X r n→0 o godz N→∞, to w granicy wzór Taylora staje się zbieżny dla tej wartości Seria Taylora:
,
Zatem funkcję f(x) można rozwinąć w szereg Taylora w rozpatrywanym punkcie x, jeżeli:
1) posiada pochodne wszystkich rzędów;
2) skonstruowany szereg jest zbieżny w tym punkcie.

Gdy a = 0 otrzymujemy szereg zwany szeregiem Maclaurina:
,
Rozwinięcie najprostszych (elementarnych) funkcji w szereg Maclaurina:
Funkcje wykładnicze
, R=∞
Funkcje trygonometryczne
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcja actgx nie rozwija się w potęgach x, ponieważ ctg0=∞
Funkcje hiperboliczne


Funkcje logarytmiczne
, -1 |C - Zq i dlatego szereg w (25.5) jest rozbieżny. Mamy

Stosując ponownie wzór (22.C) otrzymujemy

Dla wszystkich C € Г2 równości są spełnione

Od serii qi rz jest zbieżny, to na mocy kryterium jednolitego

Zbieżność Weierstrassa (Twierdzenie 20.2), szereg po prawej stronie (25.8) jest zbieżny na Г O absolutnie i jednostajnie w zmiennej?. Wygodnie jest nam przepisać ten szereg w nieco innej formie, wprowadzając nowy indeks sumowania Do równość Do = -P- 1, tj. N = -Do - 1. Kiedy N przyjmuje wartości 0,1,2,..., indeks Do przebiega przez wartości -1, -2, -3____

Pomnóżmy równość (25,9) przez f(Q(co nie zakłóci munduru

zbieżność szeregu w (25.9) na okręgu Γr) i całkowanie wyraz po wyrazie wzdłuż Γr:

Indeks Do we wzorach (25.10), (25.11) można zastąpić dowolną inną literą; w szczególności możemy ponownie oznaczyć to przez n, gdzie N= - 1,- 2,... Podstawiając rozwinięcia (25.6) i (25.10) do (25.4) dochodzimy do równości (25.2). Funkcjonować. jest analityczny

(Z - zo)n+l

w pierścieniu g g 0 p, tak że r wówczas oba koła Ti i Гг można zastąpić kołem |С - zq = р. W tym przypadku równości (25.7) i (25.11) zostaną zapisane za pomocą jednego wzoru (25.3). Twierdzenie 25.3 zostało udowodnione.

Szereg (25.2) w potęgach całkowitych (z- -th) (zarówno dodatnie, jak i ujemne), których współczynniki są określone przez formę -

lam (25,3), nazywa się obok Laurenta funkcje f(z). Wiersz ^2 do n (z -

N=0

• - Zo)n zwany właściwa część i serial do n (z - zq) ty (pisz

Również do n( z - z o) n) - część główna Seria Laurenta (w miarę

Dokładny charakter nazw stanie się jasny później).

Przejdźmy teraz do kwestii jedyności ekspansji (25.2).

Twierdzenie 25.2 (twierdzenie o jednoznaczności dla rozwinięcia funkcji w szeregu Laurenta). Wpuść jakiś pierścień V= (g z - zo (25,2). Następnie f (z) Jest

funkcja analityczna w V i współczynniki z n, n = 0, ±1, ±2.... rozwinięcia są określone jednoznacznie przez wzory (25.3).

Dowód. Ponieważ zgodnie z warunkami twierdzenia szereg (25.2) jest zbieżny V, wówczas oba szeregi zbiegają się po prawej stronie (25.1) kompozycji

seria leżąca (25,2). Pierwsza to rząd Y1 °n(z ~ z o) n ~ Jest

zwykły szereg potęgowy zbiegający się w pewnym okręgu ze środkiem Zo i odbiegających poza ten okrąg. Ponieważ szereg ten jest zbieżny w V, a następnie cały pierścień V leży w kręgu zbieżności. Od kwoty

szereg potęgowy jest zatem analityczny w kręgu zbieżności (własność 21.6).

suma serii Si (.g). do n (z - zq) h jest analityczny V. Według nieruchomości 21.5,

szereg ten zbiega się równomiernie w dowolnym okręgu z- zq R"

ale liczba c n(z - zo) n - Dokonajmy zmiany zmiennych poprzez wstawienie Z=

=-, Do= - n. Wtedy badany szereg będzie miał postać V C-uZ k. Ten

z ~ z o k=l

szereg jest szeregiem potęgowym względem zmiennej Z centrum Zo= 0: zbiega się w pewnym okręgu Z R "o ten szereg jest zbieżny jednostajnie (właściwość 21.5). Wróćmy teraz do zmiennej z. Następnie zakreśl

/?o przejdzie do zbioru --- z - zo >1 /Ro, te. na zewnątrz okręgu o środku zq o promieniu 1/Lo- Zatem szereg

^2 do n (z -Zo)n zbiega się o godz |z - Zo > l/Ro do funkcji analitycznej N=-1

5-2(g) i odbiega w punkcie 5-2(g). z - zo 1 /Rq. Ponieważ szereg ten jest zbieżny w V, potem cały pierścień V leży w obszarze konwergencji z-Zo > 1/Yao tego rzędu. Jednocześnie w okolicy z- zo > 1 //?o s N® Ale zbieżność będzie jednolita. W szczególności rad zbiega się równomiernie w |z - zo > g", Jeśli g" > G.

Zatem oba szeregi po prawej stronie (25.1) zbiegają się w pierścieniu V a ich sumy Si(z) i S-j(z) są analityczne V. Zatem funkcja f(z) = Si (z) + 4* S-z(z) analityczne w V.

Pokażmy, że współczynniki s rozwinięcia są określane jednoznacznie za pomocą wzorów (25.3). Weźmy okrąg Г = (z - zo= /?), gdzie d Podsumujmy liczby G" I R" aby d Oba rzędy po prawej stronie (25.1) zbiegają się równomiernie w pierścieniu V= = (z; z - Zo R1)- Oznacza to rząd

zbiega się w nim równomiernie. Właściwość ta pozostanie po pomnożeniu obu stron przez dowolną potęgę (z - zo) ~ n ~ l , n = О, ±1, ±2_____, ponieważ każdy z tych stopni jest funkcją granicy

ceniony w V(patrz nota 20.5):

Na mocy Twierdzenia 20.4 powstały szereg można całkować wyraz po wyrazie wzdłuż Γ:

Skorzystajmy teraz z równości (15.7):

zgodnie z którym wszystkie całki po lewej stronie (25.12) są równe zeru, z wyjątkiem jednej, dla której k - p - 1 = - 1 (tzn. Do = yy) i co jest równe 2tgg. Dlatego w sumie z (25.12) pozostaje tylko jeden wyraz k = n, i otrzymujemy

co jest równoważne równości (25.3). Twierdzenie 25.2 zostało udowodnione.

W dowodzie Twierdzenia 25.2 ustaliliśmy, że szereg (25.2) sprowadza się do sumy dwóch szeregów potęgowych, z których jeden zbiega się wewnątrz okręgu o środku zq, a drugi poza okręgiem o mniejszym promieniu i tym samym środku (jeśli promień drugiego okręgu byłby większy, to zbiór zbieżności szeregów (25.2) byłby pusty). Oznaczmy promienie tych okręgów R i G odpowiednio (nie podano tutaj, że liczby te pokrywają się z zewnętrznym i wewnętrznym promieniem pierścienia V w Twierdzeniach 25.1, 25.2). Z tego oraz z własności szeregów potęgowych (patrz §21) wynikają następujące własności szeregów (25.2).

Właściwość 25.3. Zbiór zbieżności szeregu (25.2) to pierścień V= (z z - zq R) z możliwością dodania niektórych lub wszystkich punktów na jego granicy. W tym przypadku możliwe są przypadki r = 0 i R = oo.

Właściwość 25.4. Suma 5(g) wiersz (25.2) jest funkcją analityczną wewnątrz pierścienia V.

Właściwość 25.5. Wiersz (25.2) można całkować i różnicować wyraz po wyrazie wewnątrz pierścienia V dowolną liczbę jhm. Powstały szereg ma ten sam pierścień zbieżności V, Co

i oryginalna seria (25.2); Zbieżność w punktach granicznych może nie zostać zachowana.

Właściwość 25.6. Jeśli V = (np Zo jest pierścieniem zbieżności szeregu Laurenta funkcji f(z) i 0

Dowód. Seria funkcji Laurenta/ (z) jest zjednoczona oo 1

połączenie dwóch szeregów potęgowych °n(z ~ z o) n i c_*Z*, gdzie Z =-.

n=0 k-z-Z0

Koła zbieżności tych szeregów to z- 2o| R i z - zo = R i = 1/g (tj. z - zo = g) istnieją pojedyncze punkty

funkcje Si(z) = c n(z - Zq) ty i S-2 (z) = Cn(z-z 0)n odpowiednio

Właściwie. W związku z tym w okręgach tych znajdują się punkty osobliwe funkcji f(z)= Si (g) + S-2 (z), co było do okazania

Aby znaleźć rozwinięcia w szereg Laurenta, powszechnie stosuje się te same techniki, co w przypadku rozwinięć w szereg Taylora, a mianowicie metodę podstawienia, całkowanie wyraz po wyrazie i różniczkowanie szeregu itp.

Przykład 25.7. Znajdź wszystkie rozwinięcia Laurenta funkcji

/( g) = f w potęgach (z - 1).

" z(z - 1)

Rozwiązanie. Dokonajmy zmiany zmiennej: w = z- 1, tj. z = w +

1. Po dokonaniu podstawienia otrzymujemy funkcję r/(rc) = .

w. . Raz-(w

+ 1)wj

Gdzie wstaw powstały ułamek do sumy najprostszych ułamków (więcej informacji na temat rozwinięcia na sumę najprostszych ułamków znajdziesz w §32. Będziemy szukać rozwinięcia w formie). I A D

liczby, które próbujesz znaleźć. W tym celu sprowadzamy ułamki po prawej stronie do wspólnego mianownika: Wynika z tego + 1) + w + 2 = A(w Bw, w a równość obowiązuje dla wszystkich wartości , w tym w = , w tym 0 i , w tym- 1 (wynika to z ciągłości lewej i prawej strony tej równości). Na wstaw powstały ułamek do sumy najprostszych ułamków (więcej informacji na temat rozwinięcia na sumę najprostszych ułamków znajdziesz w §32. Będziemy szukać rozwinięcia w formie). 0 otrzymujemy 2 = 0,4, tj. , w tym= 2; zastępowanie -1, mamy 1= -B, te. W

= - 1. Zatem , w tym 0, Funkcja ta ma punkty osobliwe w = -

1, a zatem apolityczny w pierścieniach V’i = (0 w Na w> 1 wynikowy szereg przestaje być zbieżny. Dlatego, aby rozwinąć funkcję g(w) na ringu 2 U

ułamek należy przeliczyć:

Kiedy |w| > 1 będzie - z zamiast włóż to l/w.

Wykonując wskazane podstawienia, otrzymujemy (zrobiliśmy wymianę k = - (rzecz + 1) i użyłem równości (- 1)* = (-I) - *). Wracając do zmiennej z-w + 1, otrzymujemy wymagane rozwinięcia funkcji

f(z): - nowy członek -

(wszystkie pozostałe współczynniki części głównej są równe f(z).