Как рассчитать эмпирическое корреляционное отношение в excel. Коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение

Корреляционный анализ предполагает измерение тесноты связи с помощью коэффициента корреляции и корреляционного отношения. При линейной форме зависимости силу связи оценивает коэффициент корреляции Пирсона :

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от (– 1) до (+ 1), (– 1  r  1).

Отрицательный знак показателя свидетельствует об обратной связи, положительный – о прямой связи. Чем ближе значение показателя к единице, по модулю, тем связь сильнее, чем ближе к нулю, тем связь слабее.

Для измерения силы связи при любой форме зависимости, как линейной, так и нелинейной, а также для оценки множественной связи применяют теоретическое корреляционное отношение (индекс корреляции). В основе его расчета лежит правило сложения дисперсии:

где – общая дисперсия – отражает вариацию результативного признака за счет всех действующих на него факторов;

или

–факторная дисперсия , отражает вариацию результативного признака за счет фактора (х) .

–остаточная дисперсия , отражает вариацию результативного признака за счет всех факторов, кроме фактора (х) ;

Теоретическое корреляционное отношение – это корень квадратный из отношения факторной дисперсии к общей дисперсии:

Подкоренное выражение – коэффициент детерминации :

показывает долю вариации результативного признака, обусловленную влиянием факторного признака, в общей вариации. Чем эта доля выше, тем связь между признаками сильнее.

Теоретическое корреляционное отношение изменяется от 0 до 1 (0  R  1) .Чем значение показателя ближе к единице, тем связь сильнее.

Для оценки тесноты связи можно воспользоваться шкалой Чеддока :

Основная тенденция развития и методы ее выявления

Каждый ряд динамики имеет свою тенденцию развития, т.е. общее направление к росту, снижению или стабилизации уровня явления с течением времени. Степень выраженности этой тенденции зависит от влияния постоянных, периодических (сезонных) и случайных факторов на уровни ряда динамики. Поэтому следует говорить не просто о тенденции развития, а об основной тенденции.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от периодических и случайных колебаний .

Для выявления тренда ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней, аналитического выравнивания.

Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики. Для этого исходные данные объединяются, т.е. суммируются или усредняются за более продолжительные интервалы времени, пока общая тенденция развития не станет достаточно отчетливой. Например, дневные данные о производстве продукции объединяются в декадные, месячные в квартальные, годовые в многолетние. Достоинство метода в его простоте. Недостаток в том, что сглаженный ряд существенно короче исходного.

Метод скользящей средней состоит в том, что на основе исходных данных рассчитываются подвижные средние из определенного числа сначала первых по счету уровней ряда, затем из такого же числа уровней, начиная со второго, с третьего и т.д. Средняя величина как бы скользит по динамическому ряду, передвигаясь на один интервал. В скользящих средних сглаживаются случайные колебания.

Схема расчета 3-х уровневой скользящей средней величины

Интервал времени (номер по порядку)	Фактические уровни ряда динамики у i	Скользящие средние у ск
	у 1
	у 2
	у 3
	у 4	у ск3
	у 5	у ск4
	у 6

Сглаженный ряд динамики короче исходного на величину (l – 1) , если укрупнение производится по нечетному числу уровней, где l – длина периода укрупнения. Например, если l = 3, то выровненный ряд на 2 уровня короче. Таким образом сглаженный ряд не на много короче исходного.

Метод аналитического выравнивания заключается в замене фактических уровней ряда динамики их теоретическими значениями, вычисленными на основе уравнения тренда:

Расчет параметров уравнения производится методом наименьших квадратов:

где у – фактические уровни;у ti – соответствующие им во времени выровненные (расчетные) уровни.

Если развитие осуществляется в арифметической прогрессии (с равными цепными абсолютными приростами), то для выравнивания используют линейную функцию :

Если наблюдается динамика в геометрической прогрессии, (с равными цепными темпами роста), то необходимо использовать показательную функцию :

у t = а 0 а 1 t .

Если развитие происходит с равными темпами прироста, используется степенная функция , например второго порядка (парабола):

у t = а 0 + а 1 t + а 2 t 2 .

Критерием правильности выбора уравнения тренда служит ошибка аппроксимации . Она представляет собой среднее квадратическое отклонение фактических уровней ряда динамики от теоретических:

Оптимальным считается уравнение с наименьшей ошибкой аппроксимации.

Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по линейной функции :



где а 0 , а 1 – параметры уравнения прямой; t – показатели времени (как правило, порядковый номер периода или момента времени).

Параметры прямой а 0 и а 1 , удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находят решением следующей системы нормальных уравнений:

где n – число уровней ряда динамики; параметр а 1 соответствует среднему абсолютному приросту.

Для упрощения расчета показателям времени
можно придать такие значения, при которых
, тогда

Для этого в рядах с нечетным числом уровней за начало отсчета времени принимают центральный интервал, где t приравнивают к нулю. По обе стороны от нуля располагают соответственно ряды отрицательных и положительных натуральных чисел, например:

Интервал времени (номер по порядку)	t i

При четном числе уровней отсчет ведется от двух центральных интервалов, в которых t приравнено к (-1) и (+1) соответственно, а по обе стороны располагаются ряды отрицательных и положительных нечетных чисел, например:

Интервал времени (номер по порядку)	t i

Схема расчета параметров линейного уравнения

Интервалы времени

Уровни ряда динамики

у i

t i

i t 2

у i t i

у ti

На основе исчисленного уравнения тренда можно производить экстраполяцию – нахождение вероятностных (прогнозируемых) уровней за пределами исходного ряда динамики.

Эмпирический коэффициент детерминации широко используется в задачах статистики и является показателем, который представляет долю в общей дисперсии результативного признака и характеризует силу влияния группировочного признака на образование общей вариации. Он может быть рассчитан по формуле:

Данный коэффициент показывает долю вариации результативного признака у под влиянием фактора х. При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функциональной сильной связи - единице.

Представляется как корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации. Оно показывает тесноту связи между статистическими данными и определяется по формуле:

где числитель - дисперсия групповых средних;
знаменатель - общая дисперсия.

Корреляционное отношение равно нулю, если связи между данными нет. В таком случае все групповые средние будут равны между собой и межгрупповой вариации не будет.

Корреляционное отношение равно единице тогда, когда связь функциональная. В этом случае дисперсия групповых средних будет равна общей дисперсии, т. е. внутригрупповой вариации не будет.

Чем значения корреляционного отношения ближе к единице, тем сильнее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

Вычисляется по формуле:

где fэ и fт - эмпирические и теоретические частоты.

С помощью критерия Пирсона по таблицам определяют вероятность P(х^2). Входами в таблицу являются значения х^2 и число степеней свободы k = n — р -1.

Если Р > 0,05, то считается, что эмпирические и теоретические распределения близки. При Р принадлежащим совпадение между ними удовлетворительное, а в других случаях - недостаточное.

Рассчитывается по формуле:

где числитель - центральный момент третьего порядка.

б^3 - куб среднего квадратичного отклонения.

Коэффициент асимметрии является безмерной величиной, что позволяет использовать его для различных распределений. При левосторонней асимметрии Mо > Mt > xср, при правосторонней - обратные соотношения. Это позволяет применять наиболее простой показатель асимметрии:

Эксцесс в статистике

Есть степень крутости эмпирического распределения по отношению к нормальному. Он определяется по формуле:

где числитель - центральный момент четвертого порядка

Когда распределение островершинное по отношению к нормальному, эксцесс будет положительным, если плосковершинное - отрицательным. Для нормального распределения Е = 0.

ОТВЕТ

Количественная оценка тесноты связи по эмпирическим данным состоит в расчете показателей тесноты связи:

· Эмпирический коэффициент детерминации (эмпирическое дисперсионное отношение) - r 2 .

Данный показатель рассчитывается по данным аналитической группировки (табл.), как отношение межгрупповой дисперсии признака-результата Y (d y 2) к общей дисперсии Y (s y 2):

Согласно теореме о разложении дисперсии межгрупповая дисперсия связана с общей дисперсией: s y 2 =d y 2 +e y 2 . Тогда эмпирический коэффициент детерминации может быть рассчитан через остаточную дисперсию по формуле:

где s j 2 – дисперсия признака-результата Y внутри j-ой группы.

Эмпирический коэффициент детерминации характеризует силу влияния группировочного признака (Х) на образование общей вариации результативного признака Y и показывает процент (долю) вариации признака-результата, обусловленную признаком-фактором, положенным в основу группировки.

Расчет r 2 удобно вести в таблице:

Признак- фактор Х j	N j	Среднее значение признака-результата	s j 2 N j
X 1	N 1		s 1 2 N 1
X 2	N 2		s 2 2 N 2
....			...
X m	N m		s m 2 N m
Итого	N	Х	ås j 2

Тогда .

Рассмотрим пример. Пусть дана совокупность из 20 рабочих, характеризующихся признаками: Y - выработка рабочего (шт./смену) и Х- квалификация (разряд). Исходные данные представлены в таблице:

Требуется оценить тесноту связи между признаками с помощью эмпирического коэффициента детерминации (r 2).

Для расчета r 2 произведем аналитическую группировку совокупности. В качестве признака-фактора возьмем Х (разряд рабочего), в качестве признака-результата – Y выработку рабочего). Аналитическая группировка производится по признаку Х. В данном случае она будет дискретная (т.к. значения признака Х довольно часто повторяются). Количество групп равно числу значений признака Х в совокупности, т.е. 6. Результаты группировки и расчета r 2 сведем в таблицу:

Признак-фактор Х	Признак-результат Y	Количество единиц в группе, N j	Среднее значение признака-результата в группе,	( - ) 2 ·N j	Дисперсия признака-результата в группе, s 2 j	s 2 j ·N j
			(10+12+13)/3=11,7	(11,7-17,1) 2 3=88,56	s 2 1 =((10-11,7) 2 +(12-11,7) 2 +(13-11,7) 2)/3=1,56	4,7


			(11+14)/2=12,5	(12,5-17,1) 2 2=42,3	s 2 2 =((11-12,5) 2 +(14-12,5) 2)/2=2,25	4,5

			(12+13+15+16)/4= 14	(14-17,1) 2 4=38,4	s 2 3 =((12-14) 2 +(13-14) 2 +(15-14) 2 +(16-14) 2)/4=2,5



			(15+17+17+18)/4= 16,75	(16,75-17,1) 2 4=0,49	s 2 4 =((15-16,75) 2 +(17-16,75) 2 ++(17-16,75) 2 +(18-16,75) 2)/4=1,9	4,75



			(18+20+22)/3=20	(20-17,1) 2 3=25,23	s 2 5 =((18-20) 2 +(20-20) 2 +(22-20) 2)/3=2,7


			(23+24+27+25)/4= 24,75	(24,75-17,1) 2 4=234,1	s 2 6 =((23-24,75) 2 +(24-24,75) 2 +(27-24,75) 2 +(25-24,75) 2)/4=2,19	8,75



	=17,1			429,1		40,7

Эмпирический коэффициент детерминации равен отношению межгрупповой дисперсии признака-результата (d y 2) к общей дисперсии признака-результата (s y 2): r 2 = d y 2 /s y 2 = d y 2 /(d y 2 +e y 2).

Межгрупповая дисперсия Y будет равна: d y 2 = å( - ) 2 ·N j / N = 429,1/20=21,45.

Остаточная дисперсия Y будет равна: e y 2 = ås 2 j ·N j / N= 40,7/20= 2,035.

Тогда: r 2 =21,45/(21,45+2,035)= 429,1/(429,1+40,7)=0,913.

Вывод: 91,3% вариации выработки рабочих обусловлена влиянием фактора разряд.

· Эмпирическое корреляционное отношение - r.

Данный показатель представляет собой корень из эмпирического коэффициента детерминации. Оно показывает тесноту связи (не только линейной!) между группировочным и результативным признаками. Область допустимых значений эмпирического корреляционного отношения от 0 до +1.

Максимально тесная связь – это связь функциональная, когда каждое значение признака-результата Y однозначно определяется значением признака-фактора Х (т.е. результатом группировки). В этом случае дисперсия групповых средних (d y 2) равна общей дисперсии (s y 2), т.е. внутригрупповой вариации не будет. При этом остаточная дисперсия (e y 2) равна 0, а эмпирический коэффициент детерминации равен 1.

Если связь между признаками отсутствует, то все групповые средние равны между собой, межгрупповой вариации не будет (d y 2 =0), а эмпирический коэффициент детерминации равен 0.

Рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение для нашего примера: r= 0,9555. Вывод: признаки «выработка рабочего» и «разряд» связаны довольно тесной связью.

Показатели r и r 2 определяются не только наличием связи признаков Х и Y, но и фактом группировки первичных данных. С ростом числа групп m межгрупповая дисперсия d 2 растет и приближается к общей дисперсии. Если число групп меньше количества единиц совокупности N, то значения r и r 2 никогда не будут равны 1, даже при строгой функциональной связи.

Заметим, что сама по себе величина показателя тесноты связи не является доказательством наличия причинно-следственной связи между исследуемыми признаками, а является оценкой степени взаимной согласованности в изменениях признаков. Установлению причинно-следственной зависимости должен обязательно предшествовать анализ качественной природы явлений.

Суть состоит в следующем: этот показатель измеряет меру зависимости вариации одной величины от многих других. Он применяется для оценки качества линейной регрессии.

Формула расчета:

R^2 \equiv 1-{\sum_i (y_i — f_i)^2 \over \sum_i (y_i-\bar{y})^2},

\bar{y} – ср. арифметическое зависимой переменной;
fi – знач. зависимой переменной, предполагаемое по уравнению регрессии;
yi – значение исследуемой зависимой переменной.

Детерминация, что это такое — определение

Коэффициент детерминации – часть дисперсии переменной (зависимой), которая обуславливается конкретной моделью зависимости. Так эта единица поможет вычесть долю необъясненной дисперсии в дисперсии зависимой переменной.

Данный показатель может принимать значения в пределах от 0 до 1. Чем его значение ближе к 1, тем связаннее результативный признак с исследуемыми факторами.

Т.к. преступление является результатом связи поведения и личностных качеств, этот показатель в деятельности заинтересованных органов рассчитывается для оценки качества преступного поведения, дает представление, что послужило вероятностной причиной преступления, что является мотивацией, какие этому были причины и условия.

Коэффициент детерминации, что показывает?

Этот коэффициент показывает варианты результативного признака от влияния факторного признака, он тесно связан с числом корреляции. Если связь отсутствует, то показатель равняется нулю, при ее наличии – единице.
Есть определение детерминизма как принципа устройства мира. Основой этого представления является взаимосвязанность всех явления. Это учение отрицает существование вещей вне взаимосвязи с миром.

Противоположностью является индетерминизм, он связан с отрицанием объективных отношений детерминации, или отрицанием причинности.

Генетический детерминизм – вера в то, что любой организм развивается под генетическим контролем.

Под детерминантами преступности в криминологии понимают социальные явления, действия которых могут вызвать преступность.

С помощью расчетов такого рода можно оценить вероятностное социокультурное влияние различных факторов на развитие личности и предположить, как себя будет вести человек, например, в деловом общении, объективно оценить, подходит ли он для государственного управления, или воинской службы.

Так же коэффициент определяет, правильно ли выбран индекс для подсчета коэффициентов бета и альфа. Если в % цифра ниже 75 к определенному индексу, значения бета и альфа к нему будут некорректны.

Индекс детерминации

Индекс детерминации – это квадрат инд. корреляции нелинейных связей. Этим значением характеризуют, на какое количество процентов моделью регрессии объясняются варианты показателей результативной переменной по отношению к своему среднему уровню.

Формула

Коэффициент детерминации скорректированный

Суть данного понятия состоит в следующем: этот индекс показывает долю дисперсии (общей) результативной переменной, объясняющей вариантами факторных переменных, включаемых в модель регрессии: (с увеличением, уменьшением).

Величина 0,86 характеризует существенную связь между группировочным и результативным признаками.

Величина называется коэффициентом детерминации и показывает долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии.

Наряду с вариацией количественных признаков может наблюдаться и вариация качественных признаков. Такое изучение вариации достигается, как и для долей количественных признаков, посредством вычисления и анализа следующих видов дисперсий.

Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле

. (3.17)